Question

如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為5，周長(zhǎng)為14，AD＞AB．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）求tan∠ADB的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出兩鄰邊，根據(jù)對(duì)角線的長(zhǎng)利用勾股定理列出一個(gè)等式，再根據(jù)周長(zhǎng)列出一個(gè)等式，聯(lián)立組成方程組求解，再代入面積公式求解即可；
（2）根據(jù)正切定義，用∠ADB對(duì)邊AB比鄰邊AD即可得到∠ADB的正切值．

解答：解：（1）【方法一】設(shè)AB=x，AD=y，依題意，
得

x2+y2=25 2(x+y)=14

解得

x=4 y=3

或

x=3 y=4

（5分）
∵AD＞AB，∴AB=3，AD=4．
∴矩形ABCD的面積=4×3=12．（6分）
（2）在Rt△ABD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

3

4

．（8分）

【方法二】設(shè)AB=x，AD=y，依題意得

x2+y2=25 2(x+y)=14

（3分）
由方程組第一個(gè)方程得（x+y）²-2xy=25 ③
把x+y=7代入③得xy=12
所以矩形ABCD的面積為12．（5分）

（2）解方程組

xy=12 x+y=7

得

x=3 y=4

或

x=4 y=3

（6分）
∵AD＞AB，
∴AB=3，AD=4，（7分）
在Rt△ABD中，tan∠ADB=

AB

AD

=

3

4

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件列出方程組是解本題的關(guān)鍵，要注意條件AD＞AB．