【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸,y軸分別相交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,頂點(diǎn)為P,且線段AB的長為2.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G,使|GC﹣GB|最大?若存在,求G點(diǎn)坐標(biāo);若不存在說明理由.
(4)連結(jié)AC,請問在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(1,0);(2)y=x2﹣4x+3;(3)G點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣3);(4)在x軸上存在兩點(diǎn)Q1(0,0),Q2(,0)
【解析】
試題分析:(1)求值直線y=﹣x+3與x軸的交點(diǎn)B,然后根據(jù)AB的長,即可求得OA的長,則A的坐標(biāo)即可求得;
(2)利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式;
(3)由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸即直線x=2對稱,所以G點(diǎn)為直線CA與直線x=2的交點(diǎn),先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,再令x=2,求出y的值,進(jìn)而得出G點(diǎn)坐標(biāo);
(4)分成=,∠PBQ=∠ABC=45°和=,∠QBP=∠ABC=45°兩種情況求得QB的長,據(jù)此即可求解.
解:(1)當(dāng)y=0時,﹣x+3=0,解得x=3,即B(3,0),
由AB=2,得3﹣2=1,
A的坐標(biāo)為(1,0);
(2)根據(jù)題意得:,
解得:,
則拋物線的解析式是:y=x2﹣4x+3;
(3)延長CA,交對稱軸于點(diǎn)G,連接GB,則|GC﹣GB|=GC﹣GA=AC最大.
∵拋物線y=x2﹣4x+3與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(3,0),且對稱軸為直線x=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,
∵A(1,0),C(0,3),
∴,
解得,
∴y=﹣3x+3,
當(dāng)x=2時,y=﹣3×2+3=﹣3,
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣3);
(4)①當(dāng)=,∠PBQ=∠ABC=45°時,△PBQ∽△ABC.
即=
∴BQ=3,
又∵BO=3,
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合,
∴Q1的坐標(biāo)是(0,0).
②當(dāng)=,∠QBP=∠ABC=45°時,△QBP∽△ABC.
即=,
QB=.
∵OB=3,
∴OQ=OB﹣QB=3﹣=
∴Q2的坐標(biāo)是(,0).
∵∠PBx=180°﹣45°=135°,∠BAC<135°,
∴∠PBx≠∠BAC.
∴點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上
綜上所述,在x軸上存在兩點(diǎn)Q1(0,0),Q2(,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:
①a、b同號;
②當(dāng)x=1和x=3時,函數(shù)值相等;
③4a+b=0;
④當(dāng)y=﹣2時,x的值只能取0.
其中正確的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】如圖,點(diǎn)E在直線DF上,點(diǎn)B在直線AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D.
則∠A=∠F,請說明理由.
解:∵∠AGB=∠EHF
∠AGB= (對頂角相等)
∴∠EHF=∠DGF
∴DB∥EC
∴∠ =∠DBA ( 兩直線平行,同位角相等)
又∵∠C=∠D
∴∠DBA=∠D
∴DF∥ (內(nèi)錯角相等,兩直線平行)
∴∠A=∠F .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC沿著過AB中點(diǎn)D的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的A1處,稱為第1次操作,折痕DE到BC的距離記為h1;還原紙片后,再將△ADE沿著過AD中點(diǎn)D1的直線折疊,使點(diǎn)A落在DE邊上的A2處,稱為第2次操作,折痕D1E1到BC的距離記為h2;按上述方法不斷操作下去…,經(jīng)過第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距離記為h2016,到BC的距離記為h2016.若h1=1,則h2016的值為( )
A. B.1﹣ C. D.2﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】釣魚島是我國渤海海峽上的一顆明珠,漁產(chǎn)豐富.一天某漁船離開港口前往該海域捕魚.捕撈一段時間后,發(fā)現(xiàn)一外國艦艇進(jìn)入我國水域向釣魚島駛來,漁船向漁政部門報告,并立即返航.漁政船接到報告后,立即從該港口出發(fā)趕往釣魚島.下圖是漁船及漁政船與港口的距離s和漁船離開港口的時間t之間的函數(shù)圖象.(假設(shè)漁船與漁政船沿同一航線航行)
(1)直接寫出漁船離港口的距離s和它離開港口的時間t的函數(shù)關(guān)系式.]
(2)求漁船和漁政船相遇時,兩船與釣魚島的距離.
(3)在漁政船駛往釣魚島的過程中,求漁船從港口出發(fā)經(jīng)過多長時間與漁政船相距30海里?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O,是∠AOC的鄰補(bǔ)角是 ,∠DOA的對頂角是 ,若∠AOC=50°,則∠BOD= 度,∠COB= 度.
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【題目】推理填空:如圖:
①若∠1=∠2,
則 ∥ (內(nèi)錯角相等,兩直線平行);
若∠DAB+∠ABC=180°,
則 ∥ (同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行);
②當(dāng) ∥ 時,
∠C+∠ABC=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ));
③當(dāng) ∥ 時,
∠3=∠C (兩直線平行,同位角相等).
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