Question

【題目】某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元．

(1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn)；

(2)該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共50臺(tái)，其中A型電腦的進(jìn)貨量不少于14臺(tái)，B型電的進(jìn)貨量不少于A型電腦的2倍，那么該商店有幾種進(jìn)貨方案?該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大?

(3)實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m (0<m<100)元，若商店保持兩種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及(2)中條件，設(shè)計(jì)出使這50臺(tái)電腦銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

【答案】(1) 每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元；（2）該商店有三種進(jìn)貨方案；商店購(gòu)進(jìn)14臺(tái)A型電腦和36臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大；(3)見解析

【解析】

（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元；然后根據(jù)銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元列出方程組，然后求解即可；
（2）根據(jù)A型電腦的進(jìn)貨量不少于14臺(tái)，B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍，列不等式組求出x的取值范圍，再根據(jù)總利潤(rùn)等于兩種電腦的利潤(rùn)之和列式整理即可得解；然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出利潤(rùn)的最大值即可．

(3) 結(jié)合（2）找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)分m-50＜0、m-50=0和m-50＞0來解決最值問題．

解：（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元；
根據(jù)題意得：，

解得：．
答：每臺(tái)A型電腦銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型電腦（50-x）臺(tái)，銷售總利潤(rùn)為y元

根據(jù)題意得，y=100x+150（50-x），
即：y=-50x+7500；

根據(jù)題意得，，
解得：，
∵x為正整數(shù)，

∴x=14，15，16；

∴該商店有三種進(jìn)貨方案；

∵y=-50x+7500，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=14時(shí)，y取最大值，則50-x=36，
此時(shí)最大利潤(rùn)是y=-50×14+7500=6800．
即商店購(gòu)進(jìn)14臺(tái)A型電腦和36臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6800元．

（3）由已知得：y=（100+m）x+150（50-x）=（m-50）x+7500，
當(dāng)m＜50時(shí)，m-50＜0，
則購(gòu)進(jìn)14臺(tái)A型電腦和36臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大；
當(dāng)m=50時(shí)，m-50=0，
則A、B兩種電腦隨意搭配（14≤A型電腦數(shù)≤16），銷售利潤(rùn)一樣多；
當(dāng)m時(shí)，m-50＞0，
則購(gòu)進(jìn)16臺(tái)A型電腦和34臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)最大