Question

（2013•密云縣一模）如圖，長方形制片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進行裁減和拼圖

第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；
第三步：如圖③，將MN左側紙片繞G點按順時針方向旋轉180°，使線段GB與GE重合，將MN右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉180°，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）
（1）所拼成得四邊形是什么特殊四邊形？
（2）則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）首先確定剪拼之后的四邊形是個平行四邊形；
（2）根據(jù)周長大小取決于MN的大小，然后在矩形中探究MN的不同位置關系，得到其長度的最大值與最大值，從而問題解決．

解答：解：（1）畫出第三步剪拼之后的四邊形M₁N₁N₂M₂的示意圖，如答圖1所示．
圖中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理），
又∵M₁M₂∥N₁N₂，
∴四邊形M₁N₁N₂M₂是一個平行四邊形，

（2）其周長為2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．
∵BC=6cm為定值，
∴四邊形的周長取決于MN的大小．
如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖，
過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，
則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，
根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4cm．
∴其周長的最小值為：2BC+2MN=2×6+2×4=20（cm）．

點評：此題主要考查了圖形的剪拼以及考查了動手操作能力和空間想象能力，確定剪拼之后的圖形，并且探究MN的不同位置關系得出四邊形周長的最值是解題關鍵．