【題目】如圖,平面內(nèi)一定點A在直線MN的上方,點O為直線MN上一動點 ,作射線OA、OP、OA’,當(dāng)點O在直線MN上運動時,始終保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A’OP,將射線OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到射線OB
(1)如圖,當(dāng)點O運動到使點A在射線OP的左側(cè),若OB平分∠A’OP,求∠AOP的度數(shù);
(2)當(dāng)點O運動到使點A在射線OP的左側(cè),∠AOM=3∠A’OB時,求的值;
(3)當(dāng)點O運動到某一時刻時,∠A’OB=150°,直接寫出∠BOP= 度.
【答案】(1) ∠AOP=40°;(2) 或6; (3) 105或135.
【解析】試題分析:
(1)由題意易得:∠AOB=60°,∠AOP=∠A′OP=2∠POB,由此可得∠AOP+∠POB=3∠POB=60°,這樣解得∠POB=20°,即可得到∠AOP=40°;
(2)①當(dāng)射線OB在∠A′OP的內(nèi)部時,如圖1,設(shè)∠A′OB= ,則∠AOM=,∠AON=,∠AOA′= ,由此可得∠AOP=∠A′OP=,由∠AOM+∠AOP=∠MOP=90°可得,解得,由此即可求得∠AON和∠AOP,從而可求得它們的比值;
②當(dāng)射線OB在∠AON的內(nèi)部時,如圖2,設(shè)∠A′OB= ,則∠AOM=,∠AON=,∠AOA′= ,由此可得∠AOP=∠A′OP=,由∠AOM+∠AOP=∠MOP=90°可得,解得,由此即可求得∠AON和∠AOP,從而可求得它們的比值;
(3)如圖3,當(dāng)∠A′OB=150°時,易得∠A′OA=150°-60°=90°,結(jié)合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=45°,從而可得∠BOP=60°+45°=105°;如圖4,當(dāng)∠A′OB=150°時,易得∠A′OA=360°-150°-60°=150°,結(jié)合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=75°,從而可得∠BOP=60°+75°=135°;
試題解析:
(1)由題意可得:∠AOB=60°,∠AOP=∠A′OP,
∵OB平分∠A′OP,
∴∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB,
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°,
∴∠POB=20°,
∴∠AOP=2∠POB=40°;
(2)①當(dāng)點O運動到使點A在射線OP的左側(cè),且射線OB在在∠A′OP的內(nèi)部時,如圖1,
設(shè)∠A′OB=x,則∠AOM=3∠A′OB=3x,∠AOA′= ,
∵OP⊥MN,
∴∠AON=180°-3,∠AOP=90°-3x,
∴,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP=
∴,解得: ,
∴;
②當(dāng)點O運動到使A在射線OP的左側(cè),但是射線OB在∠A′ON內(nèi)部時,如圖2,
設(shè)∠A′OB=x,則∠AOM=3x,∠AON=,∠AOA′= ,
∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=∠A′OP=,
∵OP⊥MN,
∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x,
∴,解得: ,
∴ ;
(3)①如圖3,當(dāng)∠A′OB=150°時,
由圖可得:∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°,
又∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=45°,
∴∠BOP=60°+45°=105°;
②如圖4,當(dāng)∠A′OB=150°時,由圖可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°,
又∵∠AOP=∠A′OP,
∴∠AOP=75°,
∴∠BOP=60°+75°=135°;
綜上所述:∠BOP的度數(shù)為105°或135°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果月初出售,可獲利15﹪,并可用本金和利潤再投資其他商品,到月末又可獲利10﹪;如果月末出售可獲利30﹪,但要付出倉儲費用700元.
(1)若商場投資元,分別用含的代數(shù)式表示月初出售和月末出售所獲得的利潤;
(2)若商場投資40000元,問選擇哪種銷售方式獲利較多?此時獲利多少元?
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【題目】(1)有這樣一道題:“當(dāng),求代數(shù)式:7a3﹣6a3b+3a2b+3a3+6a3b﹣3a2b﹣10a3+3的值”;小明細(xì)算了一下,提出題中所給的條件是多余的,請你認(rèn)真計算一下,認(rèn)為他的說法是否有道理?
(2)小紅做了一道數(shù)學(xué)題:“已知兩個多項式為A、B,其中B=4a2﹣5a﹣6,求A+B的值.”粗心的小紅誤將“A+B”看成“A﹣B”,結(jié)果求出的答案是10a﹣7a2+12,請你幫助小紅求出正確的A+B的結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,以AC為直徑作⊙O交BC于點D,交AB于點G,且D是BC的中點,DE⊥AB,垂足為E,交AC的延長線于點F.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線;
(2)CF=5,cos∠A= ,求AE的長.
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【題目】盛盛同學(xué)到某高校游玩時,看到運動場的宣傳欄中的部分信息(如下表):
院系籃球賽成績公告 | |||
比賽場次 | 勝場 | 負(fù)場 | 積分 |
22 | 12 | 10 | 34 |
22 | 14 | 8 | 36 |
22 | 0 | 22 | 22 |
盛盛同學(xué)結(jié)合學(xué)習(xí)的知識設(shè)計了如下問題,請你幫忙完成下列問題:
(1)從表中可以看出,負(fù)一場積______分,勝一場積_______分;
(2)某隊在比完22場的前提下,勝場總積分能等于其負(fù)場總積分的2倍嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為BC的中點,直角∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn),DM,DN分別與邊AB,AC交于E,F兩點,下列結(jié)論:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正確結(jié)論是( )
A. ①②④ B. ②③④
C. ①②③ D. ①②③④
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【題目】已知[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[3]=3;[3.14]=3;[﹣3.14]=﹣4.
根據(jù)以上規(guī)則解答下列問題:
(1)[﹣8]= ;[5.4]= ;[﹣6.99]= ;
(2)若[x]=﹣5,則x的范圍是 ;
(3)已知正整數(shù)n小于100, =n﹣2,求所有滿足條件正整數(shù)n.
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【題目】如圖①,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,過點C作CD⊥AB于點D,點E是AB邊上一動點(不含端點A,B),連接CE,過點B作CE的垂線交直線CE于點F,交直線CD于點G.
(1)求證:AE=CG;
(2)若點E運動到線段BD上時(如圖②),試猜想AE,CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,請寫出你的結(jié)論;
(3)過點A作AH⊥CE,垂足為點H,并交CD的延長線于點M(如圖③),找出圖中與BE相等的線段,并證明.
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【題目】如圖:數(shù)軸上有A、B兩點,分別對應(yīng)的數(shù)為a,b,已知(a+1)2與|b﹣3|互為相反數(shù).點P為數(shù)軸上一動點,對應(yīng)為x.
(1)a= ;b=
(2)若點P到點A和點B的距離相等,則點P對應(yīng)的數(shù)是
(3)數(shù)軸上是否存在點P,使點P到點A和點B的距離之和為5?若存在,請求出x的值;若不存在,說明理由;
(4)|x﹣a|+|x﹣b|的最小值=
(5)當(dāng)點P以每分鐘1個單位長度的速度從O點向左運動,點A以每分鐘5個單位長度向左運動,問幾分鐘時點P到點A、點B的距離相等?
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