Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= 與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣3，0），B（1，0），與y軸的交點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)H.

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E，F(xiàn) 分別是拋物線對(duì)稱軸CH 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E 在點(diǎn)F 上方），且EF=1，求使四邊形BDEF 的周長最小時(shí)的點(diǎn)E，F(xiàn) 坐標(biāo)及最小值；
（3）如圖2，點(diǎn)P 為對(duì)稱軸左側(cè)，x 軸上方的拋物線上的點(diǎn)，PQ⊥AC 交AC 于點(diǎn)Q，是否存在這樣的點(diǎn)P 使△PCQ與△ACH 相似，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

將A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3，

得：

解得：

拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，

頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，4）．

（2）

將D點(diǎn)向下平移1個(gè)單位，得點(diǎn)M，連接AM交對(duì)稱軸于F，作DE∥FM交對(duì)稱軸于E點(diǎn)，

如圖，EF∥DM，DE∥FM，四邊形EFMD是平行四邊形，

DE=FM，EF=DM=1．

DE+FB=FM+AF=AM．

由勾股定理，得AM==，

BD=

四邊形BDEF周長的最小值=BD+DE+EF+FB

=BD+EF+(DE+BF)

= BD+EF +AM

=+1+；

設(shè)AM的解析式為y=kx+b，將A、M點(diǎn)坐標(biāo)代入解得k=，b=2．

AD的解析式為y= x+2，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y= ，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ），

當(dāng)四邊形BDEF周長最小時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F（﹣1， ），E的坐標(biāo)（﹣1， ），

四邊形BDEF周長的最小值是 +1+．

（3）

點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè).

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．

過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N．

由△CFA∽△CAH得 =2，

由△FNA∽△AHC得 ．

∴AN=2，F(xiàn)N=1，點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣5，1）．

設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，

解得： ．

∴直線CF的解析式 ，

聯(lián)立 ，

解得： 或 （舍去）．

∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為 ．

【解析】(1)二次函數(shù)解析系中有2個(gè)未知數(shù)，所以就需要2個(gè)點(diǎn)，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代進(jìn)去即可求得；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱-求最短路徑的方法去做；
（3）因?yàn)椤螾CQ<∠CAH，所以只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N．