Question

（2011•福州）已知，如圖，二次函數(shù)y=ax²+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（B在A點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)H、B關(guān)于直線l：對(duì)稱(chēng)．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；
（2）求二次函數(shù)解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

解：（1）依題意，得ax²+2ax﹣3a=0（a≠0），
解得x₁=﹣3，x₂=1，
∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
答：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（﹣3，0），（1，0）．
證明：∵直線l：，
當(dāng)x=﹣3時(shí)，，
∴點(diǎn)A在直線l上．
（2）解：∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：對(duì)稱(chēng)，
∴AH=AB=4，
過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，
則，，
∴頂點(diǎn)，
代入二次函數(shù)解析式，解得，
∴二次函數(shù)解析式為，
答：二次函數(shù)解析式為．
（3）解：直線AH的解析式為，
直線BK的解析式為，
由，
解得，
即，
則BK=4，
∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱(chēng)，
∴HN+MN的最小值是MB，，
過(guò)點(diǎn)K作直線AH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，
則QM=MK，，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值為8，
答HN+NM+MK和的最小值是8．

解析