【題目】如圖1,已知∠MPN的角平分線PF經(jīng)過(guò)圓心O⊙O于點(diǎn)E、F,PN⊙O的切線,B為切點(diǎn).

(1)求證:PM也是⊙O的切線;

(2)如圖2,在(1)的前提下,設(shè)切線PM⊙O的切點(diǎn)為A,連接ABPF于點(diǎn)D;連接AO⊙O于點(diǎn)C,連接BC,AF;記∠PFA∠α.

BC=6,tan∠α=,求線段AD的長(zhǎng);

小華探究圖2之后發(fā)現(xiàn):EF2=mODOP(m為正整數(shù)),請(qǐng)你猜想m的數(shù)值?并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)①4;②4.

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)OOA⊥PM,垂足為A,連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OB是⊙O的半徑且OB⊥PN,由PF平分∠MPN利用角平分線的性質(zhì)可得出OA=OB,進(jìn)而可證出PM也是⊙O的切線;

(2)①由PM、PN都是⊙O的切線可得出PA=PB,利用等腰三角形的三線合一可得出OP⊥AB、AD=BD,由三角形中位線的性質(zhì)可得出OD=3,設(shè)⊙O的半徑為r,則FD=r+3,AD=(r+3),在Rt△AOD中,利用勾股定理可求出r的值,將其代入AD=(r+3)中即可求出AD的長(zhǎng)度;

②由∠OAP=∠ODA=90°、∠AOP=∠DOA可證出△OAP∽△ODA,利用相似三角形的性質(zhì)可得出OA2=ODOP,結(jié)合EF=2OA可證出EF2=4ODOP,即m=4.

(1)證明:在圖1中,過(guò)點(diǎn)OOA⊥PM,垂足為A,連接OB.

∵PN⊙O的切線,B為切點(diǎn),

∴OB⊙O的半徑,且OB⊥PN.

∵PF平分∠MPN,

∴OA=OB,

∴PM也是⊙O的切線;

(2)①∵PM、PN都是⊙O的切線,

∴PA=PB.

∵∠APD=∠BPD,

∴OP⊥AB,AD=BD.

∵OD△ABC的中位線,

∴OD=BC=3.

設(shè)⊙O的半徑為r,則FD=r+3,

∵tan∠α=

∴AD=(r+3).

Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即r2=[(r+3)]2+32

解得:r=5,

∴AD=(r+3)=4.

猜想m=4.

證明:∵∠OAP=∠ODA=90°,∠AOP=∠DOA,

∴△OAP∽△ODA,

,即OA2=ODOP,

∵EF=2OA,

∴EF2=4ODOP,

∴m=4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知:如圖,一塊RtABC的綠地,量得兩直角邊AC=8cm,BC=6cm.現(xiàn)在要將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰△ABD,且擴(kuò)充部分(△ADC)是以8cm為直角邊長(zhǎng)的直角三角形,求擴(kuò)充等腰△ABD的周長(zhǎng).

1)在圖1中,當(dāng)AB=AD=10cm時(shí),△ABD的周長(zhǎng)為

2)在圖2中,當(dāng)BA=BD=10cm時(shí),△ABD的周長(zhǎng)為

3)在圖3中,當(dāng)DA=DB時(shí),求△ABD的周長(zhǎng).

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A.4B.8C.10D.12

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【題目】對(duì)于多項(xiàng)式Ax2bxcb、c為常數(shù)),作如下探究:

1)不論x取何值,A都是非負(fù)數(shù),求bc滿(mǎn)足的條件;

2)若A是完全平方式,

①當(dāng)c=9時(shí),b= ;當(dāng)b=3時(shí),c= ;

②若多項(xiàng)式Bx2dxcA有公因式,求d的值.

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【題目】下表是2018年三月份某居民小區(qū)隨機(jī)抽取20戶(hù)居民的用水情況:

月用水量/

15

20

25

30

35

40

45

戶(hù)數(shù)

2

4

m

4

3

0

1

(1)求出m=   ,補(bǔ)充畫(huà)出這20戶(hù)家庭三月份用電量的條形統(tǒng)計(jì)圖;

(2)據(jù)上表中有關(guān)信息,計(jì)算或找出下表中的統(tǒng)計(jì)量,并將結(jié)果填入表中:

統(tǒng)計(jì)量名稱(chēng)

眾數(shù)

中位數(shù)

平均數(shù)

數(shù)據(jù)

   

   

   

(3)為了倡導(dǎo)節(jié)約用水,綠色環(huán)保的意識(shí),江贛市自來(lái)水公司實(shí)行梯級(jí)用水、分類(lèi)計(jì)費(fèi),價(jià)格表如下:

月用水梯級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

級(jí)(30噸以?xún)?nèi))

級(jí)(超過(guò)30噸的部分)

單價(jià)(元/噸)

2.4

4

如果該小區(qū)有500戶(hù)家庭,根據(jù)以上數(shù)據(jù),請(qǐng)估算該小區(qū)三月份有多少戶(hù)家庭達(dá)到級(jí)標(biāo)準(zhǔn)?并估算這些級(jí)用水戶(hù)的總水費(fèi)是多少元?

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解得y1=-2,y2=3.

當(dāng)y1=-2時(shí),x2=-2無(wú)意義,舍去;當(dāng)y2=3時(shí),x2=3,解得x=±.

所以,原方程的解為x1,x2=-.

問(wèn)題:

(1)在由原方程得到方程①的過(guò)程中,利用 法達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了 的數(shù)學(xué)思想;

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例:將化為分?jǐn)?shù)形式

由于=0.777…,設(shè)x=0.777…

則10x=7.777…

②﹣①得9x=7,解得x=,于是得=

同理可得=,=1+=1+

根據(jù)以上閱讀,回答下列問(wèn)題:(以下計(jì)算結(jié)果均用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)

(基礎(chǔ)訓(xùn)練)

(1)=   ,=   

(2)將化為分?jǐn)?shù)形式,寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程;

(能力提升)

(3)=   ,=   ;

(注:=0.315315…,=2.01818…)

(探索發(fā)現(xiàn))

(4)①試比較與1的大。   1(填“>”、“<”或“=”)

若已知=,則=   

(注:=0.285714285714…)

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