Question

【題目】如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圓⊙C上的一點(diǎn)，且∠AOP=45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．

Answer 1

【答案】（3，3）

【解析】

由OA與OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)∠AOP=45°，得到三角形OPE為等腰直角三角形，即P橫縱坐標(biāo)相等，設(shè)為P（a，a），由∠AOB為直角，利用直角所對(duì)的弦為直徑得到AB為直徑，Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點(diǎn)，求出圓心C坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥OA，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出P的坐標(biāo)即可．

：

∵OB=4，OA=2，

∴AB==2，

∵∠AOP=45°，

∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等,可設(shè)為a,即P(a,a)，

∵∠AOB=90°，

∴AB是直徑，

∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點(diǎn),坐標(biāo)C(1,2)，

P點(diǎn)在圓上,P點(diǎn)到圓心的距離為圓的半徑，

過(guò)點(diǎn)C作CF∥OA，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E交CF于F，

∴∠CFP=90°，

∴PF=a2,CF=a1,PC=，

∴根據(jù)勾股定理得：(a2)2+(a1)2=()2，

解得：a=3，

∴P(3,3)；

故答案為：(3,3).