【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+(m-1)與x軸交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,與y軸交于點(diǎn)C(0,c),且滿足x12+x22+x1x2=7.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上能不能找到一點(diǎn)P,使∠POC=∠PCO?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)能,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,-),(,-)
【解析】
試題分析:(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系,等式x12+x22+x1x2=7.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-m,x1x2=m-1.代入等式,即可求得m的值,從而求得解析式.
(2)根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等,求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線的解析式即可求得.
試題解析:(1)依題意:x1+x2=-m,x1x2=m-1,
∵x12+x22+x1x2=7,
∴(x1+x2)2-x1x2=7,
∴(-m)2-(m-1)=7,
即m2-m-6=0,
解得m1=-2,m2=3,
∵c=m-1<0,∴m=3不合題意
∴m=-2
拋物線的解析式是y=x2-2x-3;
(2)能
如圖,設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn),連接PO,PC,過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為D.
若∠POC=∠PCO
則PD應(yīng)是線段OC的垂直平分線
∵C的坐標(biāo)為(0,-3)
∴D的坐標(biāo)為(0,-)
∴P的縱坐標(biāo)應(yīng)是-
令x2-2x-3=-,解得,x1=,x2=
因此所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,-),(,-)
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD于點(diǎn)E,DA平分∠BDE.
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)如果AB=4,AE=2,求⊙O的半徑.
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【題目】對(duì)于有理數(shù)a,b,定義a⊙b=3a+2b,則(x+y)⊙(x-y)化簡(jiǎn)后得_____________.
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【題目】多項(xiàng)式3x2y﹣xy3+5xy﹣1是一個(gè)( )
A. 四次三項(xiàng)式 B. 三次三項(xiàng)式 C. 四次四項(xiàng)式 D. 三次四項(xiàng)式
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【題目】矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是( )
A.兩組對(duì)邊分別平行 B.對(duì)角線相等
C.對(duì)角線互相平分 D.兩組對(duì)角分別相等
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【題目】下列性質(zhì)中,菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A.對(duì)角線相等 B.對(duì)角線互相平分 C.對(duì)角線互相垂直 D.鄰邊互相垂直
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【題目】平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定( )
A. 大于0B. 小于0C. 互為相反數(shù)D. 相等
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l平行x軸,交y軸于點(diǎn)A,第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上,連結(jié)OB,動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APQ=90°,PQ交x軸于點(diǎn)C.
(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),若點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,1),求PA的長(zhǎng).
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí),若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等,求PA:PC的值.
(3)在(2)的條件下,已知AB=3,OB:BP=3:1,求四邊形AOCP的面積.
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【題目】如圖,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=,與軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,4).(1)求拋物線的解析式,結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)0≤x≤4時(shí)y的取值范圍;(2)已知點(diǎn)D(m,m+1)在第一象限的拋物線上,點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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