Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為______；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為______；
（2）試探索使四邊形EPFD為菱形時(shí)x的取值范圍，并求當(dāng)x=2時(shí)，菱形EPFD的邊長(zhǎng)．提示：用草稿紙折折看，或許對(duì)你有所幫助！

Answer 1

（1）∵紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF，
當(dāng)AP=x=0時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，即為A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)P重合是已知條件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=

2

∴折痕EF的長(zhǎng)為

2

；
故答案為：3，

2

；

（2）∵要使四邊形EPFD為菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，EF最長(zhǎng)為

2

，此時(shí)x=1，
當(dāng)EF最短時(shí)，即EF=BC，此時(shí)x=3，
∴探索出1≤x≤3
當(dāng)x=2時(shí)，如圖，連接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，設(shè)PE=m，則AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAE=90°，
∴AD²+AE²=DE²，即1²+（2-m）²=m²
解得m=

5

4

，此時(shí)菱形EPFD的邊長(zhǎng)為

5

4

．