【題目】在直角坐標系中,點A是拋物線y=x2在第二象限上的點,連接OA,過點O作OB⊥OA,交拋物線于點B,以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC.

(1)如圖1,當(dāng)點A的橫坐標為時,矩形AOBC是正方形;
(2)如圖2,當(dāng)點A的橫坐標為- 時,
①求點B的坐標;
②將拋物線y=x2作關(guān)于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=﹣x2 , 試判斷拋物線y=﹣x2經(jīng)過平移交換后,能否經(jīng)過A,B,C三點?如果可以,說出變換的過程;如果不可以,請說明理由.

【答案】
(1)-1
(2)

解:①如圖2,過點A作AE⊥x軸于點E,過點B作BF⊥x軸于點F,

當(dāng)x=﹣ 時,y=(﹣ 2=

即OE= ,AE= ,

∵∠AOE+∠BOF=180°﹣90°=90°,

∠AOE+∠EAO=90°,

∴∠EAO=∠BOF,

又∵∠AEO=∠BFO=90°,

∴△AEO∽△OFB,

= = ,

設(shè)OF=t,則BF=2t,

∴t2=2t,

解得:t1=0(舍去),t2=2,

∴點B(2,4);

②如圖2,過點C作CG⊥FB的延長線于點G,

∵∠AOE+∠EAO=90°,∠FBO+∠CBG=90°,∠AOE=∠FBO,

∴∠EAO=∠CBG,

在△AEO和△BGC中, ,

∴△AEO≌△BGC(AAS),

∴CG=OE= ,BG=AE=

∴xc=2﹣ = ,yc=4+ = ,

∴點C( , ),

設(shè)過A(﹣ , )、B(2, 4)兩點的拋物線解析式為y=﹣x2+bx+c,由題意得, ,

解得 ,

∴經(jīng)過A、B兩點的拋物線解析式為y=﹣x2+3x+2,

當(dāng)x= 時,y=﹣( 2+3× +2= ,所以點C也在此拋物線上,

故經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為y=﹣x2+3x+2=﹣(x﹣ 2+

平移方案:先將拋物線y=﹣x2向右平移 個單位,再向上平移 個單位得到拋物線y=﹣(x﹣ 2+


【解析】解:(1)如圖1,過點A作AD⊥x軸于點D,
∵矩形AOBC是正方形,
∴∠AOC=45°,
∴∠AOD=90°﹣45°=45°,
∴△AOD是等腰直角三角形,
設(shè)點A的坐標為(﹣a,a)(a≠0),
則(﹣a)2=a,
解得a1=1,a2=0(舍去),
∴點A的橫坐標﹣a=﹣1,
故答案為:﹣1;

(1)過點A作AD⊥x軸于點D,根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC=45°,所以∠AOD=45°,從而得到△AOD是等腰直角三角形,設(shè)點A坐標為(﹣a,a),然后利用點A在拋物線上,把點的坐標代入解析式計算即可得解;(2)①過點A作AE⊥x軸于點E,過點B作BF⊥x軸于點F,先利用拋物線解析式求出AE的長度,然后證明△AEO和△OFB相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系,然后利用點B在拋物線上,設(shè)出點B的坐標代入拋物線解析式計算即可得解;②過點C作CG⊥BF于點G,可以證明△AEO和△BGC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=OE,BG=AE,然后求出點C的坐標,再根據(jù)對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點A、B的拋物線解析式,把點C的坐標代入所求解析式進行驗證變換后的解析式是否經(jīng)過點C,如果經(jīng)過點C,把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式解析式,根據(jù)頂點坐標寫出變換過程即可.

練習(xí)冊系列答案
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1)請在圖1的數(shù)軸上描出A,BC三點,并直接寫出a,bc三數(shù)之間的大小關(guān)系   “<”連接);

2)點P為數(shù)軸上C點右側(cè)一點,且點PA點的距離是到C點距高的2倍,求點P在數(shù)軸上所對應(yīng)的有理數(shù);

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①CE=BD;
②△ADC是等腰直角三角形;
③∠ADB=∠AEB;
④CDAE=EFCG;
一定正確的結(jié)論有( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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