Question

【題目】如圖，在中，，,點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以長(zhǎng)為半徑的與邊的另一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

當(dāng)與邊相切時(shí)，求的半徑；

聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出的取值范圍；

在的條件下，當(dāng)以長(zhǎng)為直徑的與相交于邊上的點(diǎn)時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)⊙P與邊BC相切的切點(diǎn)為H，圓的半徑為R，連接HP，則HP⊥BC，cosC=，則sinC=，sinC===，即可求解；

（2）PD∥BE，則＝，即：，即可求解；

（3）證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=4，即可求解．

（1）設(shè)⊙P與邊BC相切的切點(diǎn)為H，圓的半徑為R，

連接HP，則HP⊥BC，cosC=，則sinC=，

sinC===，解得：R=；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=，

設(shè)AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，

則BH=ACsinC=8，

同理可得：

CH=6，HA=4，AB=4，則：tan∠CAB=2BP==，

DA=x，則BD=4-x，

如下圖所示，

PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，

tanβ=2，則cosβ=，sinβ=，

EB=BDcosβ=（4-x）×=4-x，

∴PD∥BE，

∴＝，即：，

整理得：y=；

（3）以EP為直徑作圓Q如下圖所示，

兩個(gè)圓交于點(diǎn)G，則PG=PQ，即兩個(gè)圓的半徑相等，則兩圓另外一個(gè)交點(diǎn)為D，GD為相交所得的公共弦，

∵點(diǎn)Q時(shí)弧GD的中點(diǎn)，

∴DG⊥EP，

∵AG是圓P的直徑，

∴∠GDA=90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四邊形PDBE為平行四邊形，

∴AG=EP=BD，

∴AB=DB+AD=AG+AD=4，

設(shè)圓的半徑為r，在△ADG中，

AD=2rcosβ=，DG=，AG=2r，

+2r=4，解得：2r=，

則：DG==10-2，

相交所得的公共弦的長(zhǎng)為10-2．