Question

【題目】閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點(diǎn)且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點(diǎn)的“特征線”．例如，點(diǎn)M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點(diǎn)B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線 經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)D在正方形內(nèi)部．
（1）直接寫出點(diǎn)D（m，n）所有的特征線；
（2）若點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)P是AB邊上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于坐標(biāo)軸的D點(diǎn)的特征線上時(shí)，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點(diǎn)落在OP上？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)D（m，n），

∴點(diǎn)D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n

（2）

解：點(diǎn)D有一條特征線是y=x+1，

∴n﹣m=1，

∴n=m+1

∵拋物線解析式為 ，

∴y= （x﹣m）2+m+1，

∵四邊形OABC是正方形，且D點(diǎn)為正方形的對(duì)稱軸，D（m，n），

∴B（2m，2m），

∴ （2m﹣m）2+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；

∴D（2，3），

∴拋物線解析式為y= （x﹣2）2+3

（3）

解：如圖，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于y軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，

根據(jù)題意可得，D（2，3），

∴OA′=OA=4，OM=2，

∴∠A′OM=60°，

∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN= ，

∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣ = ．

乳頭，當(dāng)點(diǎn)A′在平行于x軸的D點(diǎn)的特征線時(shí)，

∵頂點(diǎn)落在OP上，

∴A′與D重合，

∴A′（2，3），

設(shè)P（4，c）（c＞0），

由折疊有，PD=PA，

∴ =c，

∴c= ，

∴P（4， ）

∴直線OP解析式為y= ，

∴N（2， ），

∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣ = ，

即：拋物線向下平移 或 距離，其頂點(diǎn)落在OP上

【解析】（1）根據(jù)特征線直接求出點(diǎn)D的特征線；
（2）由點(diǎn)D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；
（3）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計(jì)算即可．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，特征線的理解，解本題的關(guān)鍵是用正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握正方形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．