Question

如圖，已知直線(xiàn)y=

x

2

與雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：易得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)解析式可得k的值，根據(jù)A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)也就得到了點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形可得S_△APB=3，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵直線(xiàn)y=

x

2

與雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，
∴k=2×1=2，
∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-1），
過(guò)A作y軸的平行線(xiàn)，過(guò)B作x軸的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于D，
AD=2，BD=4，
∴AB=2

5

，
∵四邊形APBQ面積是6，
∴S_△APB=3，
∴P到AB距離=

3 5

5

，
∵P在雙曲線(xiàn)上，
設(shè)P（x，

2

x

），
根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，d=

|x- 4 x |

5

=

3 5

5

，
∴x=4或者x=-1（舍去）或者x=-4（舍去）或者x=1；
所以P（4，

1

2

）或者P（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；反比例函數(shù)的比例系數(shù)等于在它上面的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等知識(shí)點(diǎn)．