Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)M為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形MBEP恰好是平行四邊形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P在第四象限，連結(jié)PA、PE及AE，當(dāng)t為何值時，△PAE的面積最大？最大面積是多少？

（4）是否存在點(diǎn)P，使△PAE為以AE為直角邊的直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（4，5）；（3）當(dāng)t＝時，S有最大值；（4）存在，理由，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣2，5）或（1，﹣4）

【解析】

（1）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3）、C（2，﹣3），則函數(shù)的對稱軸為：x＝1，故點(diǎn)E（3，0），即可求解；

（2）四邊形MBEP恰好是平行四邊形時，則MP＝BE＝3，故t＝4，則點(diǎn)P（4，5）；

（3）△PAE的面積S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），即可求解；

（4）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°兩種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣3）、C（2，﹣3），則函數(shù)的對稱軸為：x＝1，

故點(diǎn)E（3，0），

拋物線表達(dá)式為：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）四邊形MBEP恰好是平行四邊形時，則MP＝BE＝4，

故t＝4，則點(diǎn)P（4，5）；

（3）過點(diǎn)C作y軸的平行線交AE于點(diǎn)H，

由點(diǎn)A、E的坐標(biāo)得直線AE的表達(dá)式為：y＝x﹣3，

設(shè)點(diǎn)P（t，t2﹣2t﹣3），則點(diǎn)H（t，t﹣3），

△PAE的面積S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），

當(dāng)t＝時，S有最大值；

（4）直線AE表達(dá)式中的k值為1，則與之垂直的直線表達(dá)式中的k為﹣1．

①當(dāng)∠PEA＝90°時，

直線PE的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，經(jīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)代入并解得：

直線PE的表達(dá)式為：y＝﹣x+3…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣2或3（舍去3），

故點(diǎn)P（﹣2，5）；

②當(dāng)∠PAE＝90°時，

同理可得：點(diǎn)P（1，﹣4）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣2，5）或（1，﹣4）．