Question

【題目】如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A、B、C．

（1）用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置；

（2）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，0），試驗證點(diǎn)D是否在經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線上；

（3）在（2）的條件下，求證：直線CD是⊙M的切線．

Answer 1

【答案】(1)畫圖參見解析；（2）不在；（3）證明參見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用“兩弦垂直平分線的交點(diǎn)為圓心”可確定圓心位置；（2）先根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可判斷出點(diǎn)D是否在拋物線的圖象上；（3）由于C在⊙M上，如果CD與⊙M相切，那么C點(diǎn)必為切點(diǎn)；因此可連接MC，證MC是否與CD垂直即可．可根據(jù)C、M、D三點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出△CMD三邊的長，然后用勾股定理來判斷∠MCD是否為直角．

試題解析：（1）如下圖，連接AB,BC，作線段AB,BC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)M即為所求；（2）由A（0，4），可得小正方形的邊長為1，從而B（4，4）、C（6，2）,設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=ax2+bx+4

依題意，解得,所以經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4,把點(diǎn)D（7，0）的橫坐標(biāo)x=7代入上述解析式，得y=-×49+×7+4=≠0,所以點(diǎn)D不在經(jīng)過A、B、C的拋物線上；（3）如圖，設(shè)過C點(diǎn)與x軸垂直的直線與x軸的交點(diǎn)為E，連接MC，作直線CD

由圖可知：CE=2，ME=4，ED=1，MD=5,在Rt△CEM中，∠CEM=90°,∴MC2=ME2+CE2=42+22=20,在Rt△CED中，∠CED=90°,∴CD2=ED2+CE2=12+22=5,∴MD2=MC2+CD2,∴∠MCD=90°,∵MC為半徑,∴直線CD是⊙M的切線．