Question

如圖①，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，連接EP．
（1）如圖②，若M為AD邊的中點(diǎn)，
①△AEM的周長(zhǎng)=

 

cm；
②求證：EP=AE+DP；
（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A、D重合），△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①由折疊知BE=EM．AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．根據(jù)邊長(zhǎng)及中點(diǎn)易求周長(zhǎng)；②延長(zhǎng)EM交CD延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)．可證△AEM≌△DQM，得AE=DQ，EM=MQ．所以PM垂直平分EQ，得EP=PQ，得證；
（2）不變化．可證△AEM∽△DMP，兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的比是AE：MD，設(shè)AM=x，根據(jù)勾股定理可以用x表示出MD的長(zhǎng)與△MAE的周長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)的比等于相似比，即可求解．

解答：解：（1）由折疊知BE=EM，∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周長(zhǎng)=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4，M是AD中點(diǎn)，
∴△AEM的周長(zhǎng)=4+2=6（cm）；
②現(xiàn)證明EP=AE+PD
方法一：取EP的中點(diǎn)G，則在梯形AEPD中，MG為中位線，
∴MG=

1

2

（AE+PD），
在Rt△EMP中，MG為斜邊EP的中線，
∴MG=

1

2

EP，
∴EP=AE+PD．
方法二：延長(zhǎng)EM交CD延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)．
∵∠A=∠MDQ=90°，AM=DM，∠AME=∠DMQ，
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ，EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°，
∴PM垂直平分EQ，有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ，
∴EP=AE+PD．

（2）△PDM的周長(zhǎng)保持不變．
設(shè)AM=x，則MD=4-x．
由折疊性質(zhì)可知，EM=4-AE，
在Rt△AEM中，AE²+AM²=EM²，即AE²+x²=（4-AE）²，
整理得：AE²+x²=16-8AE+AE²，
∴AE=

1

8

（16-x²），
又∵∠EMP=90°，∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠DMP．
又∵∠A=∠D，
∴△PDM∽△MAE．
∴

C△PDM

C△MAE

=

MD

AE

∴C_△PDM=C_△MAE•

MD

AE

=（4+x）•

4-x

1 8 (16-x2)

=8．
∴△PDM的周長(zhǎng)保持不變．

點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)折疊變換考查了三角形的全等及相似等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．