Question

【題目】如圖，在正方形中， 是邊上一點，連結，過點作⊥，交于點，交延長線于點，若＝12， ＝5，解答下列問題：

（1）直接寫出兩對相似的三角形；

（2）求的長.

Answer 1

【答案】（1）∽， ∽（2） ．

【解析】試題分析：

(1) 由∠ABC=∠BCD=90°，EF⊥AE可知△ABE∽△ECG；由AF∥BC可知△FDG∽△ECG；由∠AEF=∠GDF=90°，∠F=∠F可知△AEF∽△GDF；由以上相似三角形，根據相似三角形的傳遞性可知△ABE∽△FDG，△ABE∽△FEA，△ECG∽△FEA等. 從其中任意選取兩組相似三角形作答即可.

(2) 要求線段DF的長，只要求得線段AF的長. 利用已知條件和勾股定理可以獲得Rt△ABE三條邊的長度；利用AD∥BC，EF⊥AE，∠ABC=90°，不難通過“兩組對應角相等的兩個三角形相似”判定△FEA∽△ABE. 線段AF的長度可以通過這組相似三角形對應邊的比例關系求得，進而得到線段DF的長.

試題解析：

(1) △ABE∽△ECG，△FDG∽△ECG. 證明過程如下.

證明：∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠BAE+∠AEB=∠CEG+∠EGC=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEB+∠CEG=90°，

∴∠BAE=∠CEG.

∵∠ABE=∠ECG=90°，∠BAE=∠CEG，

∴△ABE∽△ECG.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD∥BC，即AF∥BC，

∴△FDG∽△ECG.

(2) ∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，

∴△ABE是直角三角形，

∵AB=12，BE=5，

∴在Rt△ABE中， .

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，即∠FAE=∠AEB，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∵∠AEF=∠B=90°，∠FAE=∠AEB，

∴△FEA∽△ABE，

∴，

∵EA=13，BE=5，

∴，

∴，

∴.