【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題:如圖1,是四邊形的對(duì)角線,若,則線段,,三者之間有何等量關(guān)系?

經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長(zhǎng),使,連接,證得,從而容易證明是等邊三角形,故,所以.

小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使重合,從而容易證明是等比三角形,故,所以.

在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:

(1)小穎提出:如圖4,如果把改為,其它條件不變,那么線段,,三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小穎提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,并給出證明.

(2)小華提出:如圖5,如果把改為,其它條件不變,那么線段,三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小華提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,不用證明.

【答案】(1)BC+CD=AC(2)BC+CD=2ACcosα

【解析】

試題分析:(1)先判斷出ADE=ABC,即可得出ACE是等腰三角形,再得出AEC=45°,即可得出等腰直角三角形,即可;(判斷ADE=ABC也可以先判斷出點(diǎn)A,B,C,D四點(diǎn)共圓)

(2)先判斷出ADE=ABC,即可得出ACE是等腰三角形,再用三角函數(shù)即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)BC+CD=AC;

理由:如圖1,

延長(zhǎng)CD至E,使DE=BC,

∵∠ABD=ADB=45°,

AB=AD,BAD=180°﹣ABD﹣ADB=90°,

∵∠ACB=ACD=45°,

∴∠ACB+ACD=45°,

∴∠BAD+BCD=180°,

∴∠ABC+ADC=180°,

∵∠ADC+ADE=180°,

∴∠ABC=ADE,

ABC和ADE中,,

∴△ABC≌△ADE(SAS),

∴∠ACB=AED=45°,AC=AE,

∴△ACE是等腰直角三角形,

CE=AC,

CE=CE+DE=CD+BC,

BC+CD=AC;

(2)BC+CD=2ACcosα.

理由:如圖2,

延長(zhǎng)CD至E,使DE=BC,

∵∠ABD=ADB=α,

AB=AD,BAD=180°﹣ABD﹣ADB=180°﹣2α,

∵∠ACB=ACD=α,

∴∠ACB+ACD=2α,

∴∠BAD+BCD=180°,

∴∠ABC+ADC=180°,

∵∠ADC+ADE=180°,

∴∠ABC=ADE,

ABC和ADE中,,

∴△ABC≌△ADE(SAS),

∴∠ACB=AED=α,AC=AE,

∴∠AEC=α,

過(guò)點(diǎn)A作AFCE于F,

CE=2CF,在RtACF中,ACD=α,CF=ACcosACD=ACcosα,

CE=2CF=2ACcosα,

CE=CD+DE=CD+BC,

BC+CD=2ACcosα.

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