Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖甲，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)E，是否存在一點(diǎn)P，使線段PE的長最大？若存在，求出PE長的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖乙，過點(diǎn)A作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)F，連接DA、DB四邊形OAFC沿射線CB方向運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時立即停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積為S，請求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的解析式：y=﹣x2+4x﹣3，

∴由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，可知：頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，1）．

（2）

解：存在．

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

則 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

設(shè)P（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），

∴PF=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)x= 時，PE有最大值為 ．

∴存在一點(diǎn)P，使線段PE的長最大，最大值為 ．

（3）

解：∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直線AD的解析式為：y=x﹣1；

直線BC的解析式為：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．

∵AF∥y軸，

∴F（1，﹣2），

∴AF=2．

①當(dāng)0≤t≤ 時，如答圖1﹣1所示．

此時四邊形AFF′A′為平行四邊形．

設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K，則AK= AA′= t．

∴S=SAFF′A′=AFAK=2× t= t；

②當(dāng) ＜t≤2 時，如答圖1﹣2所示．

設(shè)O′C′與AD交于點(diǎn)P，A′F′與BD交于點(diǎn)Q，

則四邊形PC′F′A′為平行四邊形，△A′DQ為等腰直角三角形．

∴S=SPC′F′A′﹣S△A′DQ=2×1﹣ （t﹣ ）2=﹣ t2+ t+1；

③當(dāng)2 ＜t≤3 時，如答圖1﹣所示．

設(shè)O′C′與BD交于點(diǎn)Q，則△BC′Q為等腰直角三角形．

∵BC=3 ，CC′=t，

∴BC′=3 ﹣t．

∴S=S△BC′Q= （3 ﹣t）2= t2﹣3 t+9．

∴綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

S=

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，然后化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）先求得直線BC的解析式，設(shè)P（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），根據(jù)PF等于P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去F點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求得PF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，從而求得P的坐標(biāo)和PF的最大值；（3）在運(yùn)動過程中，分三種情形，需要分類討論，避免漏解．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．