Question

如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，由下列條件中的某一個就能推出△ABC是直角三角形的是________．（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）
①∠ACD=∠B；②∠A：∠B：∠C=4：3：5；③AC•BC=AB•CD；④．

Answer 1

①③④
分析：要想證明△ABC是直角三角形，只需證明∠ACB=∠CAD=∠CDB=90°即可．
解答：解：①在△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故本選項正確；
②∵∠A：∠B：∠C=4：3：5，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的內角和是180°），
∴∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形；
故本選項錯誤；
③∵S_△ABC=AC．BCsinC=A B．CD=AC．BC，
∴sinC=1，故∠C=90°，
故③正確；
④在△CDB與△ADC中，
=，
∠BDC=∠ADC=90°，
∴△CDB∽△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠B，
∴∠CAD+∠B=90°，
∴在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故本選項正確；
綜上所述，正確的是①③④．
故答案為：①③④．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的判定及三角形的內角和定理．解答此題的關鍵是牢記直角三角形的性質：三個內角中，有一個內角是90°．