Question

如圖，CB是半圓的直徑，AC與半圓相切于C點，AB與半圓相交于D點，在AC上任取一點E，連接BE交半圓于F點．求證：AB•BD=EB•BF．

Answer 1

證明：證法一：連接CD、CF；
∵BC是直徑，
∴∠CDB=90°，∠CFB=90°；（4分）
又∵AC與圓相切于C點，CB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°；（5分）
在Rt△ABC中，BC²=BD•BA，在Rt△EBC中，BC²=BF•BE；（7分）
∴BD•BA=BF•BE，即AB•BD=EB•BF．（8分）

證法二：連接CD、DF；（1分）
∵∠CBE=∠CBF=∠CDF，（2分）
又∵AC切⊙O于C，CB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=∠BDC=90°；（3分）
∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF；（4分）
又∵∠DBF=∠EBA（同角）（5分）
∴△DBF∽△EBA，（6分）
∴BD：EB=BF：AB，（7分）
∴AB•BD=EB•BF．（8分）