【題目】如圖,已知AB⊙O的直徑,AD,BD⊙O的弦,BC⊙O的切線,切點為B,OC∥AD,BA,CD的延長線相交于點E.

(1)求證:DC⊙O的切線;

(2)若⊙O半徑為4,∠OCE=30°,求△OCE的面積.

【答案】(1)詳見解析;(2)16.

【解析】

(1)首先連接OD,易證得△COD≌△COB(SAS),然后由全等三角形的對應(yīng)角相等,求得∠CDO=90°,即可證得直線CD是⊙O的切線;

(2)設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R+1,在Rt△ODE中,利用勾股定理列出方程,求解即可.

(1)證明:連接DO,如圖,

∵AD∥OC,

∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD,

∵OA=OD,

∴∠DAO=∠ADO,

∴∠COD=∠COB.

△COD△COB

,

COD≌COB(SAS),

CDO=CBO.

∵BC⊙O的切線,

CBO=90°,

CDO=90°,

∴ODCE,

D⊙O上,

∴CD⊙O的切線

(2)解:由(1)可知∠OCB=∠OCD=30°,

DCB=60°,

BCBE,

E=30°,

Rt△ODE中,∵tanE=

∴DE==4,

同理DC=OD=4

∴SOCE=ODCE=×4×8=16

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

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A. B. 1 C. D. 2

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】問題提出:某物業(yè)公司接收管理某小區(qū)后,準備進行綠化建設(shè),現(xiàn)要將一塊四邊形的空地(如圖5,四邊形ABCD)鋪上草皮,但由于年代久遠,小區(qū)規(guī)劃書上該空地的面積數(shù)據(jù)看不清了,僅僅留下兩條對角線AC,BD的長度分別為20cm,30cm及夾角∠AOB60°,你能利用這些數(shù)據(jù),幫助物業(yè)人員求出這塊空地的面積嗎?

問題顯然,要求四邊形ABCD的面積,只要求出ABDBCD(也可以是ABCACD)的面積,再相加就可以了.

建立模型:我們先來解決較簡單的三角形的情況:

如圖1,ABC中,OBC上任意一點(不與B,C兩點重合),連接OA,OA=a,BC=b,AOB=α(αOABC所夾較小的角),試用a,b,α表示ABC的面積.

解:如圖2,作AMBC于點M,

∴△AOM為直角三角形.

又∵∠AOB=α,sinα=AM=OAsinα

∴△ABC的面積=BCAM=BCOAsinα=absinα.

問題解決:請你利用上面的方法,解決物業(yè)公司的問題.

如圖3,四邊形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,已知AC=20m,BD=30m,AOB=60°,求四邊形ABCD的面積.(寫出輔助線作法和必要的解答過程)

新建模型:若四邊形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,已知AC=a,BD=b,AOB=α(αOABC所夾較小的角),直接寫出四邊形ABCD的面積=   

模型應(yīng)用:如圖4,四邊形ABCD中,AB+CD=BC,ABC=BCD=60°,已知AC=a,則四邊形ABCD的面積為多少?(新建模型中的結(jié)論可直接利用)

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