【題目】已知拋物線y=a(x﹣m)2+n與y軸交于點A,它的頂點為點B,點A、B關(guān)于原點O的對稱點分別為C、D.若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上,則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形,直線AB為拋物線的伴隨直線.
(1)如圖1,求拋物線y=(x﹣2)2+1的伴隨直線的解析式.
(2)如圖2,若拋物線y=a(x﹣m)2+n(m>0)的伴隨直線是y=x﹣3,伴隨四邊形的面積為12,求此拋物線的解析式.
(3)如圖3,若拋物線y=a(x﹣m)2+n的伴隨直線是y=﹣2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩形.
①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;
②在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△PBD是一個等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:由拋物線y=a(x﹣m)2+n與y軸交于點A,它的頂點為點B,
∴拋物線y=(x﹣2)2+1的與y軸交于點A(0,5),它的頂點為點B(2,1),
設(shè)所求直線解析式為y=kx+b,
∴ ,
解得: ,
∴所求直線解析式為y=﹣2x+5
(2)
解:如圖,作BE⊥AC于點E,由題意得四邊形ABCD是平行四邊形,
點A的坐標(biāo)為(0,﹣3),
點C的坐標(biāo)為(0,3),
可得:AC=6,
∵平行四邊形ABCD的面積為12,
∴S△ABC=6即S△ABC= ACBE=6,
∴BE=2,
∵m>0,即頂點B在y軸的右側(cè),且在直線y=x﹣3上,
∴頂點B的坐標(biāo)為(2,﹣1),
又拋物線經(jīng)過點A(0,﹣3),
∴a=﹣ ,
∴y=﹣ (x﹣2)2﹣1
(3)
解:①如圖,作BF⊥x軸于點F,
由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點坐標(biāo)為(0,﹣b),
∵頂點B(m,n)在直線y=﹣2x+b(b>0)上,
∴n=﹣2m+b,即點B點的坐標(biāo)為(m,﹣2m+b),
在矩形ABCD中,CO=BO.
∴b= ,
∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2,
∴m= b,
n=﹣2× b+b=﹣ b,
②∵B點坐標(biāo)為(m,n),即( b,﹣ b),
∴BO= =b,
∴BD=2b,
當(dāng)BD=BP,
∴PF=2b﹣ b= b,
∴P點的坐標(biāo)為( b, b);
如圖3,當(dāng)DP=PB時,
過點D作DE⊥PB,于點E,
∵B點坐標(biāo)為( b,﹣ b),
∴D點坐標(biāo)為(﹣ b, b),
∴DE= b,BE= b,設(shè)PE=x,
∴DP=PB= b+x,
∴DE2+PE2=DP2,
∴ +x2=( b+x)2,
解得:x= b,
∴PF=PE+EF= b+ b= b,
∴此時P點坐標(biāo)為:( b, b);
同理P可以為( b,﹣ b);( b, b),
故P點坐標(biāo)為:( b, b);( b, b);( b,﹣ b);( b, b).
【解析】(1)利用拋物線y=(x﹣2)2+1的與y軸交于點A(0,5),它的頂點為點B(2,1),求出直線解析式即可;(2)首先得出點A的坐標(biāo)為(0,﹣3),以及點C的坐標(biāo)為(0,3),進(jìn)而求出BE=2,得出頂點B的坐標(biāo)求出解析式即可;(3)①由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點坐標(biāo)為(0,﹣b),以及n=﹣2m+b,即點B點的坐標(biāo)為(m,﹣2m+b),利用勾股定理求出;②利用①中B點坐標(biāo),以及BD的長度即可得出P點的坐標(biāo).
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
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【題目】甲、乙兩人從, 兩地同時出發(fā),甲騎自行車,乙騎摩托車,沿同一條直線公路相向勻速行駛.出發(fā)后經(jīng)小時兩人相遇.已知在相遇時乙比甲多行駛了千米,且摩托車的速度是自行車速度的倍.
(1)問甲、乙行駛的速度分別是多少?
(2)甲、乙行駛多少小時,兩車相距千米?
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【題目】如圖,彈性小球從P(2,0)出發(fā),沿所示方向運動,每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當(dāng)小球第一次碰到正方形的邊時的點為P1,第二次碰到正方形的邊時的點為P2…,第n次碰到正方形的邊時的點為Pn,則P2018的坐標(biāo)是( 。
A. (5,3) B. (3,5) C. (0,2) D. (2,0)
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【題目】已知點A、B的坐標(biāo)分別為A(-4,0)、B(2,0),點C在y軸上,且△ABC的面積為6,以點A、B、C為頂點作□ABCD.若過原點的直線平分該□ABCD的面積,則此直線的解析式是________.
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【題目】如圖,彈性小球從P(2,0)出發(fā),沿所示方向運動,每當(dāng)小球碰到正方形OABC的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當(dāng)小球第一次碰到正方形的邊時的點為P1,第二次碰到正方形的邊時的點為P2…,第n次碰到正方形的邊時的點為Pn,則P2018的坐標(biāo)是( )
A. (5,3) B. (3,5) C. (0,2) D. (2,0)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1;
(2)畫出△A1B1C1沿x軸向右平移4個單位長度后得到的△A2B2C2;
(3)如果AC上有一點M(a,b)經(jīng)過上述兩次變換,那么對應(yīng)A2C2上的點M2的坐標(biāo)是 .
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【題目】(本題滿分8分)2014年12月28日“青煙威榮”城際鐵路正式開通,從煙臺到北京的高鐵里程比普快里程縮短了81千米,運行時間減少了9小時,已知煙臺到北京的普快列車?yán)锍淘?026千米,高鐵平均時速是普快平均時速的2.5倍.
(1)求高鐵列車的平均時速;
(2)某日王老師要去距離煙臺大約630千米的某市參加14:00召開的會議,如果他買到
當(dāng)日8:40從煙臺到該是的高鐵票,而且從該市火車站到會議地點最多需要1.5小時.試問在高鐵列車準(zhǔn)點到達(dá)的情況下他能在開會之前趕到嗎?
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【題目】籌建中的城南中學(xué)需720套單人課桌椅(如圖),光明廠承擔(dān)了這項生產(chǎn)任務(wù).該廠生產(chǎn)桌子必須5人一組.每組每天可生產(chǎn)12張;生產(chǎn)椅子必須4人一組,每組每天可生產(chǎn)24把.已知學(xué)校籌建組要求光明廠6天完成這項生產(chǎn)任務(wù).
(1)問光明廠平均毎天要生產(chǎn)多少套單人課桌椅?
(2)現(xiàn)學(xué);I建組要求至少提前1天完成這項生產(chǎn)任務(wù).光明廠生產(chǎn)課桌椅的員工增加到84名,試給出一種分配生產(chǎn)桌子、椅子的員工數(shù)的方案.
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【題目】下列材料來自2006年5月衢州有關(guān)媒體的真實報道:有關(guān)部門進(jìn)行民眾安全感滿意度調(diào)查,方法是:在全市內(nèi)采用等距抽樣,抽取32個小區(qū),共960戶,每戶抽一名年滿16周歲并能清楚表達(dá)意見的人,同時,對比前一年的調(diào)查結(jié)果,得到統(tǒng)計圖如下:
寫出2005年民眾安全感滿意度的眾數(shù)選項是;該統(tǒng)計圖存在一個明顯的錯誤是 .
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