Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣ x2 x與x軸交于O，A，點B在拋物線上且橫坐標為2．

（1）如圖1，△AOB的面積是多少？
（2）如圖1，在線段AB上方的拋物線上有一點K，當△ABK的面積最大時，求點K的坐標及△ABK的面積；
（3）在（2）的條件下，點H 在y軸上運動，點I在x軸上運動．則當四邊形BHIK周長最小時，求出H、I的坐標以及四邊形BHIK周長的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當y=0時，得A（10，0）；

當x=2時，y=4，所以B（2，4），

∴ ；

（2）解：過K作KM⊥x軸交AB于M點，

設(shè)K（m，﹣ m2 m），（2＜m＜10），

∵A（10，0），B（2，4），

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+5，

則KM=﹣ m2 m﹣（﹣ m+5）=﹣ m2+3m﹣5，

∴S△ABK= KM|xA﹣xB|=4KM=﹣m2+12m﹣20=﹣（m﹣6）2+16，

∴當m=6時，S△ABK有最大值．

此時，K（6，6），S△ABK=16．

（3）解：如圖，作點B關(guān)于y軸的對稱點B′（﹣2，4）、點K關(guān)于x軸的對稱點K′（6，﹣6），

連接B′K′，分別交x軸于點I，交y軸于點H，此時四邊形BHIK的周長最小，

∴B′K′的解析式為y=﹣ x+ ，

∴H（0， ）、I（ ，0），

∴四邊形BHIK周長的最小值為B′K′+BK= + =2 +2 ．

【解析】（1）要求面積可求高，即yB；（2）（三邊均沒有水平邊或豎直邊的三角形可稱為斜三角形）△ABK是斜三角形，須過點K做x軸的垂線，把它分割為兩個有豎直邊的三角形，設(shè)出自變量，構(gòu)建函數(shù)，解決最值問題;（3）四邊形BHIK周長可轉(zhuǎn)化為多條線段的和，可利用對稱法求兩線段之和最小，即做出定點B、K分別關(guān)于y、x軸的對稱點，當三條線段B'H，HI、IK' 在一條直線上時，周長最短..
【考點精析】利用軸對稱-最短路線問題對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知已知起點結(jié)點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結(jié)點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．