Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、C（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-5，0），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，直線DP與y軸交于點(diǎn)M．問：
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，直線DP平分矩形OABC的面積，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由，并求出此時(shí)直線DP的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、半徑長(zhǎng)為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的直徑長(zhǎng)為AC，過點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S，若存在，請(qǐng)求出S的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．注：第（3）問請(qǐng)用備用圖解答．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)（經(jīng)過矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩個(gè)部分）可知，連接BO與AC交于點(diǎn)H，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，直線DP平分矩形OABC的面積．先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（

3

2

，2），結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求直線DP的函數(shù)解析式為：y=

4

13

x+

20

13

．
（2）根據(jù)題意可知存在點(diǎn)M使得△DOM與△ABC相似，設(shè)直線DP與y軸的正半軸交于點(diǎn)M（0，y_m）．可利用相似中的相似比分別列出關(guān)于點(diǎn)M的坐標(biāo)有關(guān)的方程，求解即可．注意：共有3種情況，要考慮周全．
（3）過D作DP⊥AC于點(diǎn)P，以P為圓心，半徑長(zhǎng)為

5

2

畫圓，過點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE、DF，點(diǎn)E、F是切點(diǎn)．除P點(diǎn)外在直線AC上任取一點(diǎn)P₁，半徑長(zhǎng)為

5

2

畫圓，過點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE₁、DF₁，點(diǎn)E₁、F₁是切點(diǎn)．在△DEP和△DFP中，△DPE≌△DPF．所以S_{四邊形DEPF}=2S_△DPE=

5

2

DE．可知當(dāng)DE取最小值時(shí)，S_{四邊形DEPF}的值最�。�所以當(dāng)DE是D點(diǎn)與切點(diǎn)所連線段長(zhǎng)的最小值．利用相似求得DE的長(zhǎng)，再求得S_{四邊形DEPF}=

3471

4

．

解答：解：（1）連接BO與AC交于點(diǎn)H，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，直線DP平分矩形OABC的面積．理由如下：
∵矩形是中心對(duì)稱圖形，且點(diǎn)H為矩形的對(duì)稱中心．
又據(jù)經(jīng)過中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心的任一直線平分此中心對(duì)稱圖形的面積，
因?yàn)橹本�DP過矩形OABC的對(duì)稱中心點(diǎn)H，所以直線DP平分矩形OABC的面積．（2分）
由已知可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（

3

2

，2）．
設(shè)直線DP的函數(shù)解析式為y=kx+b．
則有

-5k+b=0 3 2 k+b=2

，解得k=

4

13

，b=

20

13

．
所以，直線DP的函數(shù)解析式為：y=

4

13

x+

20

13

．（5分）

（2）存在點(diǎn)M使得△DOM與△ABC相似．
如圖，不妨設(shè)直線DP與y軸的正半軸交于點(diǎn)M（0，y_m）．
因?yàn)椤螪OM=∠ABC，若△DOM與△ABC相似，則有

OM

OD

=

BC

AB

或

OM

OD

=

AB

BC

．
當(dāng)

OM

OD

=

BC

AB

時(shí)，即

ym

5

=

3

4

，解得ym=

15

4

．所以點(diǎn)M₁（0，

15

4

）滿足條件．
當(dāng)

OM

OD

=

AB

BC

時(shí)，即

ym

5

=

4

3

，解得ym=

20

3

．所以點(diǎn)M₂（0，

20

3

）滿足條件．
由對(duì)稱性知，點(diǎn)M₃（0，-

15

4

）也滿足條件．
綜上所述，滿足使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M有3個(gè)，
分別為M₁（0，

15

4

）、M₂（0，

20

3

）、M₃（0，-

15

4

）．

（3）如圖，過D作DP⊥AC于點(diǎn)P，以P為圓心，半徑長(zhǎng)為

5

2

畫圓，
過點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE、DF，點(diǎn)E、F是切點(diǎn)．除P點(diǎn)外在直線AC上任取一點(diǎn)P₁，半徑長(zhǎng)為

5

2

畫圓，
過點(diǎn)D分別作⊙P的切線DE₁、DF₁，點(diǎn)E₁、F₁是切點(diǎn)．
在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD，
∴Rt△DPE≌Rt△DPF．
∴S_{四邊形DEPF}=2S_△DPE=2×

1

2

×DE•PE=DE•PE=

5

2

DE．
∴當(dāng)DE取最小值時(shí)，S_{四邊形DEPF}的值最�。�
∵DE²=DP²-PE²，DE₁²=DP₁²-P₁E₁²，
∴DE₁²-DE²=DP₁²-DP²．
∵DP₁＞DP，∴DE₁²-DE²＞0．
∴DE₁＞DE．由P₁點(diǎn)的任意性知：DE是D點(diǎn)與切點(diǎn)所連線段長(zhǎng)的最小值．（12分）
在△ADP與△AOC中，∠DPA=∠AOC，
∠DAP=∠CAO，∴△ADP∽△ACO．
∴

DP

DA

=

CO

CA

，即

DP

8

=

4

5

．
∴DP=

32

5

．
∴DE=

DP2-PE2

=

1024 25 - 25 4

=

3471

10

．
∴S_{四邊形DEPF}=

3471

4

，即S=

3471

4

．（14分）
（注：本卷中所有題目，若由其它方法得出正確結(jié)論，請(qǐng)參照標(biāo)準(zhǔn)給分．）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了一次函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．