Question

設(shè)MN是圓O外一直線，過(guò)O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．
求證：AP=AQ．（初二）

Answer 1

證明：作E點(diǎn)關(guān)于GA的對(duì)稱點(diǎn)F，連FQ、FA，F(xiàn)C，
∵OA⊥MN，EF⊥OA，
則有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，F(xiàn)A=EA，
∵E，F(xiàn)，C，D共圓
∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°-∠FCD，
∵∠PAF=180-∠FAQ，
∴∠FCD=∠FAQ，
∴FCAQ四點(diǎn)共圓，
∠AFQ=∠ACQ=∠BED，
在△EPA和△FQA中
，
∴△EPA≌△FQA，
∴AP=AQ．
分析：作E點(diǎn)關(guān)于GA的對(duì)稱點(diǎn)F，連FQ、FA，F(xiàn)C，根據(jù)軸對(duì)稱和平行線性質(zhì)推出∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，F(xiàn)A=EA，求出∠FCQ=∠FAQ，推出FCAQ四點(diǎn)共圓，推出∠PEA=∠QFA，根據(jù)ASA推出△PEA和△QFA全等即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，垂線等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出∠AEP=∠AFQ，題型較好，有一定的難度，通過(guò)做題培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題的能力，符合學(xué)生的思維規(guī)律，證兩線段相等，一般考慮證所在的兩三角形全等．