Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）．雙曲線經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，且與BC交于點(diǎn)E，連接DE．

（1）求k的值和直線DE的解析式；

（2）若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且△OPE的面積與四邊形ODBE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據(jù)AB的中點(diǎn)D（6，2）求得雙曲線解析式，繼而結(jié)合矩形的性質(zhì)知點(diǎn)E（3，4），待定系數(shù)法求得直線DE的解析式；

（2）先利用割補(bǔ)法求得四邊形的面積，再依據(jù)△OPE的面積與四邊形ODBE的面積相等求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可得出答案．

解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），

∴AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，2），

將點(diǎn)D（6，2）的坐標(biāo)代入，得k=6×2=12．

∵BC∥x軸，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4．

∵點(diǎn)E在雙曲線上，

∴，

∴點(diǎn)E在坐標(biāo)為（3，4）

設(shè)直線DE的解析式為，

將點(diǎn)D（6，2）、E（3，4）的坐標(biāo)代入，

得，解得：．

∴直線DE的解析式為：

（2）∵S四邊形ODBE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE

=6×4-×6×2-×4×3=12，

∴，即，

∴OP=8

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，8）或（0，-8）