【題目】已知:如圖,在RtACB中,∠C=90°,BC=3cm,AC=3cm,點PB點出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為2cm/s;點QA點出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,速度為cm/s;若設運動的時間為t(s)(0t3),解答下列問題:

(1)如圖①,連接PC,當t為何值時△APC∽△ACB,并說明理由;

(2)如圖②,當點P,Q運動時,是否存在某一時刻t,使得點P在線段QC的垂直平分線上,請說明理由;

(3)如圖③,當點P,Q運動時,線段BC上是否存在一點G,使得四邊形PQGB為菱形?若存在,試求出BG長;若不存在請說明理由.

【答案】(1)t=,理由見解析;(2)存在,t=1,理由見解析;(3)不存在,理由見解析.

【解析】

1)結合直角三角形性質,由△APC∽△ACB,得;(2)過點PPMAC,根據(jù)線段垂直平分線性質,求QM,AM的表達式,證△APM∽△ABC,得 ;(3)假設線段BC上是存在一點G,使得四邊形PQGB為平行四邊形,則PQBG,PQ=BG,由△APQ∽△ABC,得,BP=2t=3,故PQ≠BP.

(1)RtACB中,∠C=90°AC=3cm,BC=3cm

AB=6,

由運動知,BP=2t,AQ= ,

AP=62t,

∵△APC∽△ACB,

t=

(2)存在,

理由:如圖②,由運動知,BP=2t,AQ=

AP=62t,CQ= ,

∵點PCQ的垂直平分線上,

過點PPMAC,

QM=CM=

AM=AQ+QM= =(3+t)

∵∠ACB=90°,∴PMBC,

∴△APM∽△ABC

∴解得t=1;

(3)不存在

理由:由運動知,BP=2t,

AP=62t,

假設線段BC上是存在一點G,使得四邊形PQGB為平行四邊形,

PQBG,PQ=BG

∴△APQ∽△ABC,,

BP=2t=3,

PQ≠BP,

∴平行四邊形PQGB不可能是菱形.即:線段BC上不存在一點G,使得四邊形PQGB為菱形.

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