Question

已知：如圖，直線y=3x+3與x軸交于C點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)，B點(diǎn)在x軸上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若直線CD∥AB交拋物線于D點(diǎn)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若P點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=3x+3=0得：x=-1，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）；
令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3）；
∵△OAB是等腰直角三角形．
∴OB=OA=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，

解得：
∴解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴
解得：
∴直線AB的解析式為：y=-x+3
∵線CD∥AB
∴設(shè)直線CD的解析式為y=-x+b
∵經(jīng)過點(diǎn)C（-1，0），
∴-（-1）+b=0
解得：b=-1，
∴直線CD的解析式為：y=-x-1，
令-x-1=-x²+2x+3，
解得：x=-1，或x=4，
將x=4代入y=-x²+2x+3=-16+2×4+3=-5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，-5）；

（3）存在．如圖1所示，設(shè)P（x，y）是第一象限的拋物線上一點(diǎn)，
過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=x，PN=y，BN=OB-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOA+S_△PNB-S_△AOB
=（OA+PN）•ON+PN•BN-OA•OB
=（3+y）•x+y•（3-x）-×3×3
=（x+y）-，
∵P（x，y）在拋物線上，∴y=-x²+2x+3，代入上式得：
S_△ABP=（x+y）-=-（x²-3x）=-（x-）²+，
∴當(dāng)x=時(shí)，S_△ABP取得最大值．
當(dāng)x=時(shí)，y=-x²+2x+3=，
∴P（，）．
所以，在第一象限的拋物線上，存在一點(diǎn)P，使得△ABP的面積最大；
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．
分析：（1）求得直線y=3x+3與坐標(biāo)軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)OB=OA即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式即可；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，然后根據(jù)CD∥AB得到兩直線的k值相等，根據(jù)直線CD經(jīng)過點(diǎn)C求得直線CD的解析式，然后求得直線CD和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）本問關(guān)鍵是求出△ABP的面積表達(dá)式．這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、圖形面積的表示方法等重要知識(shí)點(diǎn)，難度不是很大．注意第（3）問中圖形面積的表示方法-并非直接用底乘以高，而是通過其他圖形組合轉(zhuǎn)化而來-這是壓軸題中常見的技巧，需要認(rèn)真掌握．