(2012•玉林)如圖,已知點O為Rt△ABC斜邊AC上一點,以點O為圓心,OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E,與AC相交于點D,連接AE.
(1)求證:AE平分∠CAB;
(2)探求圖中∠1與∠C的數(shù)量關系,并求當AE=EC時tanC的值.
分析:(1)連接OE,則OE⊥BC,由于AB⊥BC,故可得出AB∥OE,進而可得出∠2=∠AEO,由于OA=OE,故∠1=∠AEO,進而可得出∠1=∠2;
(2)由三角形外角的性質可知∠1+∠AEO=∠EOC,因為∠1=∠AEO,∠OEC=90°,所以2∠1+∠C=90°;當AE=CE時,∠1=∠C,再根據(jù)2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度數(shù),由特殊角的三角函數(shù)值得出tanC即可.
解答:(1)證明:連接OE,
∵⊙O與BC相切于點E,
∴OE⊥BC,
∵AB⊥BC,
∴AB∥OE,
∴∠2=∠AEO,
∵OA=OE,
∴∠1=∠AEO,
∴∠1=∠2,即AE平分∠CAB;

(2)解:∠C=90°-2∠1,tanC=
3
3

∵∠EOC是△AOE的外角,
∴∠1+∠AEO=∠EOC,
∵∠1=∠AEO,∠OEC=90°,
∴∠C=90°-2∠1,
當AE=CE時,∠1=∠C,
∵2∠1+∠C=90°
∴3∠C=90°,∠C=30°
∴tanC=tan30°=
3
3
點評:本題考查的是切線的性質、三角形外角的性質及等腰三角形的性質,在解答此類題目時要熟知“若出現(xiàn)圓的切線,必連過切點的半徑,構造定理圖,得出垂直關系”.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•玉林)如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形AOCD的頂點A的坐標是(0,4),現(xiàn)有兩動點P,Q,點P從點O出發(fā)沿線段OC(不包括端點O,C)以每秒2個單位長度的速度勻速向點C運動,點Q從點C出發(fā)沿線段CD(不包括端點C,D)以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動.點P,Q同時出發(fā),同時停止,設運動時間為t(秒),當t=2(秒)時,PQ=2
5

(1)求點D的坐標,并直接寫出t的取值范圍.
(2)連接AQ并延長交x軸于點E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點F,連接EF,則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化?若變化,求出S與t的函數(shù)關系式;若不變化,求出S的值.
(3)在(2)的條件下,t為何值時,四邊形APQF是梯形?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•玉林)如圖,兩塊相同的三角板完全重合在一起,∠A=30°,AC=10,把上面一塊繞直角頂點B逆時針旋轉到△A′BC′的位置,點C′在AC上,A′C′與AB相交于點D,則C′D=
5
2
5
2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•玉林)如圖,Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB,BC分別相切于點D,E,過劣弧
DE
(不包括端點D,E)上任一點P作⊙O的切線MN與AB,BC分別交于點M,N,若⊙O的半徑為r,則Rt△MBN的周長為(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•玉林)如圖,在平面直角坐標系xOy中,梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上,AC∥OB,BC⊥OB,過點A的雙曲線y=
k
x
的一支在第一象限交梯形對角線OC于點D,交邊BC于點E.
(1)填空:雙曲線的另一支在第
象限,k的取值范圍是
k>0
k>0
;
(2)若點C的坐標為(2,2),當點E在什么位置時,陰影部分的面積S最小?
(3)若
OD
OC
=
1
2
,S△OAC=2,求雙曲線的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案