【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2x+c(a≠0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,C三點(diǎn),已知點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)C(0,﹣8),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖1,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,第四象限的拋物線上有一點(diǎn)P,將△EBP沿直線EP折疊,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對(duì)稱軸上,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,設(shè)BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F,作直線CD,點(diǎn)M是直線CD上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)B,F,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8,D(1,﹣9);(2)P( , );(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣ , )或(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).
【解析】試題分析:(1)將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a、c的值,從而得到拋物線的解析式,最后利用配方法可求得點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)將y=0代入拋物線的解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo),然后由拋物線的對(duì)稱軸方程可求得點(diǎn)E的坐標(biāo),由折疊的性質(zhì)可求得∠BEP=45°,設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入可求得b的值,從而可求得直線EP的解析式,最后將直線EP的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組求解即可;
(3)先求得直線CD的解析式,然后再求得直線CB的解析式為y=k2x﹣8,從而可求得點(diǎn)F的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,﹣a﹣8),然后分為MF=MB、FM=FB兩種情況列方程求解即可.
試題解析:(1)將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得: ,解得:a=1,c=﹣8,∴拋物線的解析式為.∵y=(x﹣1)2﹣9,∴D(1,﹣9);
(2)將y=0代入拋物線的解析式得:x2﹣2x﹣8=0,解得x=4或x=﹣2,∴B(4,0),
∵y=(x﹣1)2﹣9,∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1,∴E(1,0),
∵將△EBP沿直線EP折疊,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在拋物線的對(duì)稱軸上,∴EP為∠BEF的角平分線,∴∠BEP=45°,
設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得:﹣1+b=0,解得b=1,
∴直線EP的解析式為y=﹣x+1.將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得: ,解得:x=或x=,
點(diǎn)P在第四象限,∴x=,∴y=,∴P(, );
(3)設(shè)CD的解析式為y=kx﹣8,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得:k﹣8=﹣9,解得k=﹣1,
∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8,
設(shè)直線CB的解析式為y=k2x﹣8,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得:4k2﹣8=0,解得:k2=2,
∴直線BC的解析式為y=2x﹣8,
將x=1代入直線BC的解析式得:y=﹣6,∴F(1,﹣6),
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,﹣a﹣8),
當(dāng)MF=MB時(shí),(a﹣4)2+(a+8)2=(a﹣1)2+(a+2)2,整理得:6a=﹣75,解得:a=﹣,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣, );
當(dāng)FM=FB時(shí),(a﹣1)2+(a+2)2=(4﹣1)2+(﹣6﹣0)2,整理得:a2+a﹣20=0,解得:a=4或a=﹣5,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,﹣12)或(﹣5,﹣3);
綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣, )或(4,﹣12)或(﹣5,﹣3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】自2009年起,每年的11月11日是Tmall一年一度全場(chǎng)大促銷的日子.某服飾店對(duì)某商品推出促銷活動(dòng):雙十一當(dāng)天,買兩件等值的商品可在每件原價(jià)減50元的基礎(chǔ)上,再打八折;如果單買,則按原價(jià)購(gòu)買.
(1)妮妮看中兩件原價(jià)都是300元的此類商品, 則在雙十一當(dāng)天,購(gòu)買這兩件商品總共需要多少錢?
(2)熊熊購(gòu)買了兩件等值的此類商品后, 發(fā)現(xiàn)比兩件一起按原價(jià)六折購(gòu)買便宜. 若這兩件等值商品的價(jià)格都是大于196的整數(shù), 則原價(jià)可能是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)M、N、P分別是線段AC,BC,AB的中點(diǎn).
(1)若AB=10cm,則MN= cm;
(2)若AC=3cm,CP=1cm,求線段PN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)下表回答下列問(wèn)題:
x | 16.0 | 16.1 | 16.2 | 16.3 | 16.4 | 16.5 | 16.6 | 16.7 | 16.8 |
x2 | 256.00 | 259.21 | 262.44 | 265.69 | 268.96 | 272.25 | 275.56 | 278.89 | 282.24 |
(1)265.69的平方根是 , ;
(2)表中與最接近的數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠MAN=60°,AP平分∠MAN,點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn),點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動(dòng),連接BC,將∠ABC(0°<∠ABC<120°)的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí),
①請(qǐng)判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系,直接寫(xiě)出結(jié)論;
②請(qǐng)?zhí)骄烤段AC,AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系,寫(xiě)出結(jié)論并證明;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長(zhǎng)線上時(shí),BC交射線AM于點(diǎn)F,若AB=4,AC=,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD和DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n),與y軸的交點(diǎn)在(0,3),(0,4)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m為任意實(shí)數(shù));⑤一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,其中正確的有( 。
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE,交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法和證明);
(2)連接BD,求證:BD平分∠CBA.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)機(jī)器人從點(diǎn)O出發(fā),向正西方向走2m到達(dá)點(diǎn)A1;再向正北方向走4m到達(dá)點(diǎn)A2;再向正東方向走6m到達(dá)點(diǎn)A3;再向正南方向走8m到達(dá)點(diǎn)A4;再向正西方向走10m到達(dá)點(diǎn)A5;…,按如此規(guī)律走下去,當(dāng)機(jī)器人走到點(diǎn)A2017時(shí),點(diǎn)A2017的坐標(biāo)為________.
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