如圖,已知頂點為C的拋物線y=ax2-4ax+c經(jīng)過點(-2,0),與y軸交于點A(0,3),點B是拋物線上的點,且滿足AB∥x軸.
(1)求拋物線的表達式;
(2)求拋物線上關于原點中心對稱的兩個點的坐標;
(3)在線段AB上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)已知拋物線經(jīng)過的兩點坐標,直接利用待定系數(shù)法求解即可.
(2)首先根據(jù)這兩個點關于原點對稱,用未知數(shù)表示出兩點的坐標,再由這兩點都在拋物線的圖象上,將兩點坐標代入拋物線的解析式中即可.
(3)首先由O、A、C三點坐標,可確定∠CAP=∠AOC,那么若“以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似”,夾這組對應角的兩組對應邊必成比例,先求出AC、OC、OA三邊長,再由不同的比例關系式求出AP的長,而P點縱坐標易知(與點A相同),則點P坐標可求.
解答:解:(1)拋物線y=ax2-4ax+c經(jīng)過點(-2,0)、A(0,3),有:
4a+8a+c=0
c=3
,解得
a=-
1
4
c=3

∴拋物線的解析式:y=-
1
4
x2+x+3.

(2)依題意,設這兩個點的坐標為:(x,-
1
4
x2+x+3)、(-x,
1
4
x2-x-3);
1
4
x2-x-3=-
1
4
(-x)2+(-x)+3
解得:x1=2
3
、x2=-2
3

∴這兩個點的坐標為:(2
3
,2
3
)、(-2
3
、-2
3


(3)由(1)的拋物線解析式知:C(2,4);
過點C作CG⊥y軸于G,如右圖;
∵A(0,3)、C(2,4)
∴OG=4,CG=2,CF=1,AF=2,AC=
5
,OC=2
5

則:tan∠COG=tan∠CAF=
1
2
,即∠AOC=∠CAP;
若以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似,那么應有兩種情況:
AP
AC
=
OA
OC
,即
AP
5
=
3
2
5

∴AP=
3
2
,即 P(
3
2
,3);
AP
AC
=
OC
OA
,即
AP
5
=
2
5
3

∴AP=
10
3
,即 P(
10
3
,3);
綜上,存在符合條件的點P,且坐標為(
3
2
,3)或(
10
3
,3).
點評:本題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、關于原點對稱的兩點坐標的特點以及相似三角形的判定和性質(zhì);最后一題要注意根據(jù)不同的對應邊進行分類討論;總體的難度適中.
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12
x2+bx+c
經(jīng)過點A(-3,6),并x軸交于B(-1,0),C兩點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求四邊形ABPC的面S;
(3)試判斷四邊形ABPC的形狀,并說明理由.

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