Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知A、B是拋物線y=ax2（a＞0）上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在第一象限，

（1）如圖1所示，當直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時，求此拋物線的解析式和A、B兩點的橫坐標的乘積．
（2）如圖2所示，在1所求得的拋物線上，當直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時，A、B兩點的橫坐標的乘積是否為常數(shù)？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
（3）在2的條件下，若直線y=﹣2x﹣2分別交直線AB，y軸于點P、C，直線AB交y軸于點D，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：如圖1，∵AB與x軸平行，

根據(jù)拋物線的對稱性有AE=BE=1，

∵∠AOB=90°，

∴OE=AB=1，

∴A（﹣1，1）、B（1，1），

把x=1時，y=1代入y=ax2得：a=1，

∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2，

A、B兩點的橫坐標的乘積為xAxB=﹣1

（2）

xAxB=﹣1為常數(shù)，

如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，

∴∠MAO=∠BON，

∴△AMO∽△BON，

∴，

∴OMON=AMBN，

設A（xA，yA），B（xB，yB），

∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2圖象上，

∴，yA=，yB=，

∴﹣xAxB=yAyB=，

∴xAxB=﹣1為常數(shù)；

（3）

設A（m，m2），B（n，n2），

如圖3所示，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足為E、F，則易證△AEO∽△OFB．

∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，

∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．

設直線AB的解析式為y=kx+b，聯(lián)立，得：x2﹣kx﹣b=0．

∵m，n是方程的兩個根，∴mn=﹣b．

∴b=1．

∵直線AB與y軸交于點D，則OD=1．

易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．

∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．

設P（a，﹣2a﹣2），過點P作PG⊥y軸于點G，則PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．

在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，

即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，

解得a=0（舍去）或a=，

當a=時，﹣2a﹣2=，

∴P（，）．

【解析】（1）如圖1，由AB與x軸平行，根據(jù)拋物線的對稱性有AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到OE=AB=1，求出A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1時，y=1代入y=ax2得：a=1得到拋物線的解析式y(tǒng)=x2 ， A、B兩點的橫坐標的乘積為xAxB=﹣1
（2）如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N得到∠AMO=∠BNO=90°，證出△AMO∽△BON，得到OMON=AMBN，設A（xA ， yA），B（xB yB），由于A（xA ， yA），B（xB ， yB）在y=x2圖象上，得到y(tǒng)A=，yB=，即可得到結論；
（3）設A（m，m2），B（n，n2）．作輔助線，證明△AEO∽△OFB，得到mn=﹣1．再聯(lián)立直線m：y=kx+b與拋物線y=x2的解析式，由根與系數(shù)關系得到：mn=﹣b，所以b=1；由此得到OD、CD的長度，從而得到PD的長度；作輔助線，構造Rt△PDG，由勾股定理求出點P的坐標．