【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A的坐標為(5,0),菱形OABC的頂點B,C都在第一象限,tan∠AOC= ,將菱形繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<∠α<∠AOC)得到菱形FADE(點O的對應(yīng)點為點F),EF與OC交于點G,連結(jié)AG.

(1)求點B的坐標.
(2)當OG=4時,求AG的長.
(3)求證:GA平分∠OGE.
(4)連結(jié)BD并延長交x軸于點P,當點P的坐標為(12,0)時,求點G的坐標.

【答案】
(1)

解:如圖1,過點B作BH⊥x軸于點H,

∵四邊形OABC為菱形,

∴OC∥AB,

∴∠BAH=∠COA.

∵tan∠AOC= ,

∴tan∠BAH=

又∵在直角△BAH中,AB=5,

∴BH= AB=4,AH= AB=3,

∴OH=OA+AH=5+3=8,

∴點B的坐標為(8,4)


(2)

解:如圖1,

過點A作AM⊥OC于點M,

在直角△AOM中,∵tan∠AOC= ,OA=5,

∴AM= OA=4,OM= OA=3,

∵OG=4,

∴GM=OG﹣OM=4﹣3=1,

∴AG= = =


(3)

證明:如圖1,

過點A作AN⊥EF于點N,

∵在△AOM與△AFN中, ,

∴△AOM≌△AFN(ASA),

∴AM=AN,

∴GA平分∠OGE


(4)

解:如圖2,

過點G作GQ⊥x軸于點Q,

由旋轉(zhuǎn)可知:∠OAF=∠BAD=α.

∵AB=AD,

∴∠ABP= ,

∵∠AOT=∠F,∠OTA=∠GTF,

∴∠OGA=∠EGA= ,

∴∠OGA=ABP,

又∵∠GOA=∠BAP,

∴△GOA∽△BAP,

,

∴GQ= ×4=

∵tan∠AOC= ,

∴OQ= × =

∴G( , ).


【解析】(1)如圖1,過點B作BH⊥x軸于點H,構(gòu)建直角△ABH,所以利用菱形的四條邊相等的性質(zhì)和解該直角三角形得到AH、BH的長度,則易求點B的坐標;(2)如圖1,過點A作AM⊥OC于點M,構(gòu)建直角△OAM和直角△AMG,通過解直角△OAM求得直角邊AM的長度,然后結(jié)合圖形和勾股定理來求AG的長度;(3)如圖1,過點A作AM⊥OC于點M,構(gòu)建全等三角形:△AOM≌△AFN(ASA),利用該全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AM=AN,最后結(jié)合角平分線的性質(zhì)證得結(jié)論;(4)如圖2,過點G作GQ⊥x軸于點Q,構(gòu)建相似三角形:△GOA∽△BAP,根據(jù)該相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到求得GQ的長度.結(jié)合已知條件tan∠AOC= ,來求邊OQ的長度,即可得到點G的坐標.本題考查了四邊形綜合題.解題過程中,涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解直角三角形以及勾股定理等知識點,解答該題的難點在于作出輔助線,構(gòu)建相關(guān)的圖形的性質(zhì).
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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3)當三角尺在(2)的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置(點F在線段AC上,且點F與點C不重合)時,若AGAB=513,BC=4,求DE+DF的值.

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(1)扇形統(tǒng)計圖中a=   ,該校初一學生總?cè)藬?shù)為   人;

(2)根據(jù)圖中信息,補全條形統(tǒng)計圖;

(3)扇形統(tǒng)計圖中活動時間為4的扇形所對圓心角的度數(shù)為   

(4)如果該市共有初一學生6000人,請你估計活動時間不少于4的大約有   人.

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根據(jù)以上材料解答下列問題:

(1)此次活動中,北京市中小學生一共捐書約為 萬冊(保留整數(shù)),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;

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