【題目】已知:直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C在線段AO上.將沿BC折疊后,點(diǎn)O恰好落在AB邊上點(diǎn)D處.
(1)求出OC的長(zhǎng)?
(2)點(diǎn)E、F是直線BC上的兩點(diǎn),若是以EF為斜邊的等腰直角三角形,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)取AB的中點(diǎn)M,若點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在直線AB上,是否存在以C、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)OC的長(zhǎng)為3;(2)或;(3)或或.
【解析】
(1)先根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)A、B坐標(biāo),從而可得OA、OB、AB的長(zhǎng),再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,然后在中,利用勾股定理即可得;
(2)如圖,先由(1)得出點(diǎn)C坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)解析式,從而可得出直線AG的函數(shù)解析式,然后聯(lián)立直線BC、AG的函數(shù)解析式可求出點(diǎn)G的坐標(biāo),從而可得AG的長(zhǎng),最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得,由此建立方程求解即可得;
(3)先求出點(diǎn)M坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求出直線CM的函數(shù)解析式,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,然后分MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的邊和MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線兩種情況,分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式求解即可.
(1)對(duì)于
當(dāng)時(shí),,解得,則點(diǎn)A坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),,則點(diǎn)B坐標(biāo)為
由折疊的性質(zhì)得:
,
設(shè),則
在中,,即
解得
故OC的長(zhǎng)為3;
(2)由(1)可得:點(diǎn)C坐標(biāo)為
設(shè)直線BC的解析式為
將點(diǎn),代入得:,解得
則直線BC的解析式為
如圖,過(guò)點(diǎn)A作直線BC的垂線,交直線BC于點(diǎn)G
則可設(shè)直線AG的解析式為
將點(diǎn)代入得:,解得
則直線AG的解析式為
聯(lián)立,解得
即點(diǎn)G坐標(biāo)為
由兩點(diǎn)之間的距離公式得:
點(diǎn)E、F是直線BC上的兩點(diǎn),且是以EF為斜邊的等腰直角三角形
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為
則有
整理得:
解得或
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為或;
(3)由題意得:點(diǎn)M坐標(biāo)為,即
設(shè)直線CM的函數(shù)解析式為
將點(diǎn)、代入得:,解得
則直線CM的函數(shù)解析式為
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線AB:上
所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
由平行四邊形的定義,分以下兩種情況:
①MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的邊,則
設(shè)直線CP的函數(shù)解析式為
將點(diǎn)代入得:,解得
則直線CP的函數(shù)解析式為
當(dāng)時(shí),,則此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為
由兩點(diǎn)之間的距離公式得:
則
解得或
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
因此,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或
②MQ為所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線,則
設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為
將點(diǎn)代入得:,解得
則直線PQ的函數(shù)解析式為
當(dāng)時(shí),,則此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為
由兩點(diǎn)之間的距離公式得:
解得或
當(dāng)時(shí),
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則MQ不是所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線,不符題設(shè),舍去
當(dāng)時(shí),
因此,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
綜上,所求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】.如圖,一條生產(chǎn)線的流水線上依次有5個(gè)機(jī)器人,它們站立的位置在數(shù)軸上依次用點(diǎn)A1,A2,A3,A4,A5表示.
(1)若原點(diǎn)是零件的供應(yīng)點(diǎn),5個(gè)機(jī)器人分別到供應(yīng)點(diǎn)取貨的總路程是多少?
(2)若將零件的供應(yīng)點(diǎn)改在A1,A3,A5中的其中一處,并使得5個(gè)機(jī)器人分別到達(dá)供應(yīng)點(diǎn)取貨的總路程最短,你認(rèn)為應(yīng)該在哪個(gè)點(diǎn)上?通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A、B是雙曲線上的點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是是線段AC的中點(diǎn).
求k的值;
求點(diǎn)B的坐標(biāo);
求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,以點(diǎn)B為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AB、BC于點(diǎn)M、N分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN的長(zhǎng)度為半徑畫弧兩弧相交于點(diǎn)P過(guò)點(diǎn)P作線段BD,交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,則下列結(jié)論①CD=ED;②∠ABD=∠ABC;③BC=BE;④AE=BE中,一定正確的是( )
A. ①②③B. ① ② ④C. ①③④D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3),直線CD交直線OA于點(diǎn)D,直線OE交線段AB于E,且CD⊥OE,垂直為點(diǎn)F,若圖中陰影部分的面積是正方形OABC的面積的,則△OFC的周長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,OABC是平行四邊形,對(duì)角線OB在軸正半軸上,位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=和y=的一支上,分別過(guò)點(diǎn)A、C作x軸的垂線,垂足分別為M和N,則有以下的結(jié)論:①;②陰影部分面積是(k1+k2);③當(dāng)∠AOC=90°時(shí),|k1|=|k2|;④若OABC是菱形,則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱,也關(guān)于y軸對(duì)稱.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②B.①④C.③④D.①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①當(dāng)x≥1時(shí),y隨x的增大而減小;②b+2a=0;③x=3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根;④4a-2b+c<0.其中正確的是________(填序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上,AB=8,∠CBA=30°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,DF⊥DE于點(diǎn)D,并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.下列結(jié)論:
①CE=CF;
②線段EF的最小值為;
③當(dāng)AD=2時(shí),EF與半圓相切;
④若點(diǎn)F恰好落在B C上,則AD=;
⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),線段EF掃過(guò)的面積是.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)O疊放在一起.
(1)如果∠BOD=60°,那么∠AOC= ,如果∠AOC=130°,那么∠BOD= .
(2)猜想∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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