Question

已知：關(guān)于x的兩個(gè)方程x²+（m+1）x+m-5=0…①與mx²+（n-1）x+m-4=0…②方程①有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求證方程②的兩根符號(hào)相同；
（2）設(shè)方程②的兩根分別為α、β，若α：β=1：3，且n為整數(shù)，求m的最小整數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）先由方程x²+（m+1）x+m-5=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根得出△＞0，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍，由方程②可知，當(dāng)

m-4

m

≥0時(shí)此方程有兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)根，再由①判斷出

m-4

m

的符號(hào)即可；
（2）先根據(jù)α、β分別為方程mx²+（n-1）x+m-4=0的兩個(gè)根，且α：β=1：3可得出α+β=4α=

1-n

m

，α=

1-n

4m

，α•β=

3(1-n)2

16m2

=

m-4

m

，再由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得到△＞0，與上式聯(lián)立可得到關(guān)于m、n的方程組，求出m的取值范圍，再與（1）中m的取值范圍聯(lián)立即可求出m的最小整數(shù)解．

解答：解：（1）∵x²+（m+1）x+m-5=0，
∴△＞0，即△=（m+2）²-4（m-5）=m²+2m+1-4m+20＞0，

m2-2m+21＞0① -(m+1)＜0② m-5＞0③

，
由②得m＞-1由③得m＞5，
∴m＞5，
∴

m-4

m

＞0，
∴方程②有兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)根；
（2）∵α、β分別為方程mx²+（n-1）x+m-4=0的兩個(gè)根，且α：β=1：3，
∴α+β=4α=

1-n

m

，α=

1-n

4m

，
∴α•β=

3(1-n)2

16m2

=

m-4

m

，
∴

3(1-n)2=16m2-64m (n-1)2-4m2+16m≥0

，
（n-1）²=

16m2-64m

3

，4m²-16m≥0，
∴m≥4，
∵△=（n-1）²-4m（m-4）≥0，3α²=

m-4

m

．
∵

m＞5 m-4≥0 m＞0

，
∴m的最小整數(shù)值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，有一定的難度，熟知根與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．