(2013•宜賓)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),且滿足
CF
FD
=
1
3
,連接AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接AD、DE,若CF=2,AF=3.給出下列結(jié)論:
①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E=
5
2
;④S△DEF=4
5

其中正確的是
①②④
①②④
(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).
分析:①由AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,根據(jù)垂徑定理可得:
AD
=
CD
,DG=CG,繼而證得△ADF∽△AED;
②由
CF
FD
=
1
3
,CF=2,可求得DF的長(zhǎng),繼而求得CG=DG=4,則可求得FG=2;
③由勾股定理可求得AG的長(zhǎng),即可求得tan∠ADF的值,繼而求得tan∠E=
5
4
;
④首先求得△ADF的面積,由相似三角形面積的比等于相似比,即可求得△ADE的面積,繼而求得S△DEF=4
5
解答:解:①∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,
AD
=
CD
,DG=CG,
∴∠ADF=∠AED,
∵∠FAD=∠DAE(公共角),
∴△ADF∽△AED;
故①正確;
②∵
CF
FD
=
1
3
,CF=2,
∴FD=6,
∴CD=DF+CF=8,
∴CG=DG=4,
∴FG=CG-CF=2;
故②正確;
③∵AF=3,F(xiàn)G=2,
∴AG=
AF2-FG2
=
5
,
∴在Rt△AGD中,tan∠ADG=
AG
DG
=
5
4
,
∴tan∠E=
5
4
;
故③錯(cuò)誤;
④∵DF=DG+FG=6,AD=
AG2+DG2
=
21
,
∴S△ADF=
1
2
DF•AG=
1
2
×6×
5
=3
5

∵△ADF∽△AED,
S△ADF
S△AED
=(
AF
AD
2
3
5
S△AED
=
3
7
,
∴S△AED=7
5
,
∴S△DEF=S△AED-S△ADF=4
5
;
故④正確.
故答案為:①②④.
點(diǎn)評(píng):此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng),難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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20
20

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BD
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(3)在第四象限內(nèi)拋物線y2上,是否存在點(diǎn)Q,使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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