Question

【題目】在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AB、CD滿足什么條件時(shí)，四邊形EGFH是菱形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(提示：過(guò)點(diǎn)B作BM∥AD交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明EG//AB且EG=AB)

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析：本題可根據(jù)菱形的定義來(lái)求解．E、G分別是AD，BD的中點(diǎn)，那么EG就是三角形ADB的中位線，同理，HF是三角形ABC的中位線，因此EG、HF同時(shí)平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG=HF．因此四邊形EHFG是平行四邊形，E、H是AD，AC的中點(diǎn)，那么EH=CD，要想證明EHFG是菱形，那么就需證明EG=EH，那么就需要AB、CD滿足AB=CD的條件．

試題解析：當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EGFH為菱形．

證明：過(guò)點(diǎn)B作BM∥AD交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠DEG=∠GMB.∵G為BD的中點(diǎn)，∴DG=GB.

又∵∠DGE=∠BGM，∴△DGE≌△BGM，∴EG=GM，ED=BM.

∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE=ED，∴BM∥AE，

∴四邊形AEMB為平行四邊形，

∴EM∥AB，

∴EG∥AB，EG=AB.

同理FH∥CD，GF∥CD，GF=CD，

∴四邊形EGFH為平行四邊形．

∵AB=CD，∴GF=HF，

∴平行四邊形EGHF是菱形．