Question

已知拋物線y=ax²+bx+c，當(dāng)x=0時(shí)，有最小值為1；且在直線y=2上截得的線段長(zhǎng)為4．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P到x軸的距離為d₁，點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，2）的距離為d₂，猜想d₁、d₂的大小關(guān)系，并證明；
（3）若直線PF交此拋物線于另一點(diǎn)Q（異于P點(diǎn)）．
①試判斷以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②以PQ為直徑的圓與y軸的交點(diǎn)為A、B，若OA•OB=1，求直線PQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)列式求出b=0，c=1，再根據(jù)在直線y=2上截得的線段長(zhǎng)為4，利用拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)（2，2）在拋物線上，然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，從而得解；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PF的長(zhǎng)，即d₂，d₁等于P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值；比較兩距離即可；
（3）①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，根據(jù)（2）的結(jié)論可得PF=PM，QF=QN，然后利用梯形的中位線定理可得圓心到x軸的距離等于PQ的一半，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷圓與x軸相切；
②設(shè)圓與x軸的切點(diǎn)為E，根據(jù)切割線定理可得OE=1，再設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+2，與拋物線解析式聯(lián)立，根據(jù)點(diǎn)PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度等于OE列式求出k值，即可得解．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，有最小值為1，
∴-

b

2a

=0，

4ac-b2

4a

=1，
解得b=0，c=1，
∴拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，
∵在直線y=2上截得的線段長(zhǎng)為4，
∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，2）與（2，2），
∴4a+1=2，
解得a=

1

4

，
所以，此拋物線的解析式：y=

1

4

x²+1；

（2）猜想：d₁=d₂．
設(shè)拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

4

x²+1），
則d₁=

1

4

x²+1，
d₂=PF=

(x-0)2+( 1 4 x2+1-2)2

=

1 16 x4+ 1 2 x2+1

=

1

4

x²+1，
所以，d₁=d₂；

（3）①以PQ為直徑的圓與x軸相切．
理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，
由（2）可知，PF=PM，QF=QN，
∴PF+QF=PM+QN，
即PQ=PM+QN，
∵圓心D是直徑PQ的中點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴DE=

1

2

（PM+QN）=

1

2

PQ，
即圓心到x軸的距離等于圓的半徑，
所以，以PQ為直徑的圓與x軸相切；
②由切割線定理可得OE²=OA•OB，
∵OA•OB=1，
∴OE²=1，
解得OE=1，
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+2，
聯(lián)立

y=kx+2 y= 1 4 x2+1

得，

1

4

x²+1=kx+2，
整理得，x²-4kx-4=0，
所以，線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

-4k

2×1

=2k，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2k，0），
當(dāng)點(diǎn)E在y軸右側(cè)時(shí)，2k=1，
解得k=

1

2

，
此時(shí)，所求直線PQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=

1

2

x+2，
當(dāng)點(diǎn)E在y軸左側(cè)時(shí)，2k=-1，
解得k=-

1

2

，
此時(shí)所求直線PQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=-

1

2

x+2，
綜上，所求直線PQ對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=

1

2

x+2或y=-

1

2

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式，拋物線的對(duì)稱性，兩點(diǎn)間的距離公式，梯形的中位線定理，直線與圓的位置關(guān)系的判定，圓的切割線定理，綜合性較強(qiáng)，（3）要注意分情況討論．