【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于(2,0)、(1,0),與y軸交于C,直線l1經(jīng)過點(diǎn)C且平行于x軸,與拋物線的另一個交點(diǎn)為D,將直線l1向下平移t個單位得到直線l2,l2與拋物線交于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t=2時,探究△ABC的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M(m,0)在x軸上自由運(yùn)動,過M作MN⊥x軸,交直線BC于P,交拋物線于N,若三個點(diǎn)M、N、P中恰有一個點(diǎn)是其他兩個點(diǎn)連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),則稱M、N、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”,請直接寫出使得M、P、N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值.
【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣1);(2)△ABC為直角三角形,理由見解析;(3)使得M、P、N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值為或
或
或
.
【解析】
(1)由點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式,再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)由t和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出直線l2為y=3,利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AB、AC、BC的值,由AC2+BC2=AB2可得出△ABC為直角三角形;
(3)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,由點(diǎn)M的坐標(biāo)可得出點(diǎn)N、P的坐標(biāo),分點(diǎn)M為中點(diǎn)、點(diǎn)N為中點(diǎn)及點(diǎn)P為中點(diǎn)三種情況找出關(guān)于m的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論.
(1)將(2,0)、(1,0)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:
,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+
x﹣1.
當(dāng)x=0時,y=﹣x2+
x﹣1=﹣1,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣1).
(2)△ABC為直角三角形,理由如下:
∵t=2,直線l1:y=﹣1,
∴直線l2:y=﹣3.
當(dāng)y=﹣3時,﹣x2+
x﹣1=﹣3,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,﹣3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,﹣3).
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣1),
∴AC=,BC=
,AB=5.
∵AC2+BC2=25=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC為直角三角形.
(3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d(k≠0),
將B(4,﹣3)、C(0,﹣1)代入y=kx+d,得:
,解得:
,
∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣1.
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,﹣m2+
m﹣1),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣
m﹣1).
①當(dāng)點(diǎn)M為中點(diǎn)時,有﹣m2+
m﹣1﹣0=0﹣(﹣
m﹣1),
整理得:m2﹣2m+4=0,
∵△=(﹣2)2﹣4×1×4=﹣12<0,
∴該情況不存在;
②當(dāng)點(diǎn)N為中點(diǎn)時,有0﹣(﹣m2+
m﹣1)=﹣
m2+
m﹣1﹣(﹣
m﹣1),
整理得:2m2﹣7m+2=0,
解得:m1=,m2=
;
③當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時,有0﹣(﹣m﹣1)=﹣
m﹣1﹣(﹣
m2+
m﹣1),
整理得:m2﹣5m﹣2=0,
解得:m3=,m4=
.
綜上所述:使得M、P、N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值為或
或
或
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC和△DEF是兩塊可完全重合的三角板,,
.在如圖1所示的狀態(tài)下,△DEF固定不動,將△ABC沿直線a向左平移.
(1)當(dāng)△ABC移到圖2位置時,連解AF、DC,求證:AF=DC;
(2)若EF=8,在上述平移過程中,試猜想點(diǎn)C距點(diǎn)E多遠(yuǎn)時,線段AD被直線a垂直平分。并證明你的猜想是正確的。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖的正方形網(wǎng)格中,每一個小正方形的邊長為1.格點(diǎn)三角形ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形)的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(﹣4,6),(﹣1,4).
(1)請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系;
(2)請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;
(3)△ABC 直角三角形(填“是”或“不是”);
(4)請在y軸上畫一點(diǎn)P,使△PB1C的周長最小,并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作EF∥BC交AB,AC于點(diǎn)E,F,若AB=10,AC=8,則△AEF的周長是_______________。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+
與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A,與直線y=
相交于點(diǎn)C.動點(diǎn)P從O出發(fā)在x軸上以每秒5個單位長度的速度向B勻速運(yùn)動,點(diǎn)Q從C出發(fā)在OC上以每秒4個單位長度的速度,向O勻速運(yùn)動,運(yùn)動時間為t秒(0<t<2).
(1)直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)及OC、BC長;
(2)連接PQ,若△OPQ與△OBC相似,求t的值;
(3)連接CP、BQ,若CP⊥BQ,直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
、
、
(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度).
向下平移
個單位長度得到的
,點(diǎn)
的坐標(biāo)是________;
以點(diǎn)
為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出
,使
與
位似,且位似比為
,點(diǎn)
的坐標(biāo)是________;(畫出圖形)
的面積是________平方單位.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC是一塊直角三角形紙片,∠ACB=90°,將該三角形紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,DE為折痕.
(1)線段AE和BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的結(jié)論并進(jìn)行證明.
結(jié)論: .
證明:
(2)直角三角形斜邊的中線和斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的結(jié)論(不證明).
結(jié)論: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,P(3,3),點(diǎn)A、B分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上,且PA=PB.
(1)求證:PA⊥PB;
(2)若點(diǎn)A(9,0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(3)當(dāng)點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動時,求OA﹣OB的值;
(4)如圖2,若點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動時,直接寫出OA+OB的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AE平分∠BAC,點(diǎn)D是AE上一點(diǎn),連接BD,CD.請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件,使△ABD≌△ACD.添加的條件是:____.(寫出一個即可)
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