Question

【題目】如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：
①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；
②點(diǎn)O與O′的距離為4；
③四邊形AO BO′的面積為6+3
④∠AOB=150°；
⑤S△AOC+S△AOB=6+ ．
其中正確的結(jié)論是（ ）

A.②③④⑤
B.①③④⑤
C.①②③⑤
D.①②④⑤

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中， ，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，
故結(jié)論①正確；
如圖①，連接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=4．
故結(jié)論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=OC=5．
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結(jié)論④正確；
S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′= ×3×4+ ×42=6+4 ，
故結(jié)論③錯誤；
如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．
∵△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形，
則S△AOC+S△AOB=S四邊形AOCO″=S△COO″+S△AOO″= ×3×4+ ×32=6+ ，
故結(jié)論⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論為：①②④⑤．
故選：D．


證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論④正確；
S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4 ，故結(jié)論③錯誤；
如圖②，將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉(zhuǎn)化為S△COO″+S△AOO″ ， 計(jì)算可得結(jié)論⑤正確．