拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B,拋物線與x軸的另一個交點為C,拋物線的頂點為D.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)試判斷△ABD的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以點P、A、B、D為頂點的四邊形是梯形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)由直線AB的解析式可求出點A、B的坐標(biāo);再由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)由(1)的拋物線解析式能求出頂點D的坐標(biāo),然后求出AB、AD、BD三邊的長,據(jù)此判斷△ABD的形狀.
(3)應(yīng)分三種情況:
①過點D作AB的平行線PD,那么點P為直線PD與x或y軸的交點;可先求出∠OPD的度數(shù),根據(jù)這個特殊度數(shù)來求出OP的長,由此得出點P的坐標(biāo);
②過點B作AD的平行線BP,此時△OBP、△EDA(如圖)相似,根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出OP的長,據(jù)此求出點P的坐標(biāo);
③過點A作BD的平行線AP,解題思路同①.
解答:解:(1)如圖,∵直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個交點為A、B,
∴點A的坐標(biāo)為(3,0),點B的坐標(biāo)為(0,3).
又∵拋物線經(jīng)過點A、B,
0=-9+3b+c
3=c

解得
b=2
c=3

∴拋物線的解析式為y=x2+2x+3.

(2)△ABD為直角三角形.
∵拋物線y=-x2+2x+3的頂點D的坐標(biāo)為(1,4),過點D作DE⊥x軸于E,DE⊥y軸于F.
∴可求BD=
2
,AB=3
2
,AD=2
5

∴AB2+BD2=AD2
∴△ABD為直角三角形.

(3)如圖,坐標(biāo)軸上存在點P,使得以點P、A、B、D為頂點的四邊形是梯形.
 分為三種情況:
①以AB為底邊.
過點D作PD∥AB交y軸于點P.
∵可知∠ABO=45°,
∴∠DPO=45°.
∴可求PF=1.
∴PO=5.即點P(0,5).
若過點D作P1D∥AB交x軸于點P1
同理可求P1坐標(biāo)為(5,0).
②以AD為底.
過點B作P2B∥AD交x軸于點P2
利用△ADE∽△P2BO可求出點P2的坐標(biāo)為(
3
2
,0).
 ③以BD為底.
過點A作P3A∥BD交y軸于點P3
∵∠ABD=90°,
∴∠BAP3=90°.
又∵∠BAO=45°,
∴∠P3AO=45°.
∴AO=P3O=3.
∴點P3的坐標(biāo)為(0,-3).
綜上所述,點P坐標(biāo)分別為(5,0)或(
3
2
,0)或(0,5)或(0,-3).
點評:此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、直角三角形的判定、梯形的判定等綜合知識;最后一題的解題方法較多,還可以先求出另一底的直線解析式,再求出直線與坐標(biāo)軸的交點即可.
練習(xí)冊系列答案
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12
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2
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