Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．

求拋物線的解析式；

求的值；

在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)線段EF最長？求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，，理由見解析；（4）當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，線段EF最長

【解析】分析：（1）把點(diǎn)，代入到，用待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案；

（3）根據(jù)等腰三角形的定義，分PD=CD和PC=CD兩種情況可得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

詳解：拋物線過點(diǎn)，，

　　　　　

解析式為，

當(dāng)時(shí)，解得舍，，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，

．

存在．

對(duì)稱軸是，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

．

，得或，

，即P點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于底邊的高對(duì)稱，得

D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，即，

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，；

設(shè)直線BC的解析式為

、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，

解得，

直線BC的解析式為．

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，則F點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

當(dāng)時(shí)，EF最長，

當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，線段EF最長．