Question

已知二次函數(shù)y = ax²的圖象經過點（2，1）．

（1）求二次函數(shù)y = ax²的解析式；

（2）一次函數(shù)y = mx+4的圖象與二次函數(shù)y = ax²的圖象交于A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂）兩點．

①當時（圖①），求證：△AOB為直角三角形；

②試判斷當時（圖②），△AOB的形狀，并證明；

（3）根據(jù)第（2）問，說出一條你能得到的結論．（不要求證明）

 

Answer 1

解：（1）由條件得1 = 4a，，所以二次函數(shù)的解析式是…………………1分

（2）①由得，，

即A（－2，1），B（8，16）…………………………3分

過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，

則AC = 1，OC = 2，OD = 8，BD = 16，

∴   又∵∠ACO =∠ODB = 90º

∴△ACO ∽ △ODB  ………………………………4分

∴∠AOC = ∠OBD 

 ∴∠AOC ＋∠BOD = 90º

∴∠AOB = 90º   

∴△AOB為直角三角形　　　 …………………………………………………………分

②△AOB為直角三角形， ………………………………………………………………分

證明如下：

過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D

由得x²－4mx－16 = 0

解得，…………分

∴

∴……………………………分

∴OC•OD = AC•BD = 16   

∴     ………………………………………………………………………分

又∵∠ACO =∠ODB = 90º，∴△ACO ∽△ODB      ………………………………分

∴∠AOC =∠OBD

∴∠AOC ＋∠BOD =90º    ∴∠AOB =90º

∴△AOB為直角三角形．

（3）可能的結論為　     …………………………………………………………………分

如果過定點（0，4）的直線與拋物線交于A、B兩點，O為拋物線的頂點，那么△AOB必為直角三角形．

如果過定點（0，）的直線與拋物線交于A、B兩點，O為拋物線的頂點，那么△AOB必為直角三角形．