【題目】將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后(如圖),其他條件不變.探究:線段MD、MF的關(guān)系,并加以證明.
【答案】證明見解析
【解析】試題分析:根據(jù)觀察它們的關(guān)系可能是MD=MF,MD⊥MF,證明思路:可以通過構(gòu)建三角形來證明,延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)N,連接FD,FN,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),我們可以通過證明三角形DFN為等腰直角三角形,M為其斜邊的中點(diǎn)來實(shí)現(xiàn),那么要證明三角形DFN是個(gè)等腰直角三角形,且DM=MN,即要證明DF=FN,DM=MN, ∠DFN=90°,如果要證明DM=MN,那么可通過證明三角形ADM和MNE全等來實(shí)現(xiàn),由于AD∥BE,那么∠1=∠2,M為AE中點(diǎn),對(duì)頂角∠3=∠4,根據(jù)ASA可得出三角形ADM和MNE全等,那么可得出MN=DM,AD=NE,下一步證明三角形DCF和三角形FNE全等即可,由全等可得DF=FN, ∠5=∠6,根據(jù)同角的余角相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化可證∠5+∠CFN=90°,那么我們可得出三角形DFN是個(gè)等腰直角三角形,且M是斜邊DN的中點(diǎn),因此可得出MD=MF, MD⊥MF.
試題解析:證法一:延長(zhǎng)DM到N,使MN=MD,連接FD,FN,EN,延長(zhǎng)EN與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.
∵M(jìn)A=ME,∠1=∠2,MD=MN,
∴△AMD≌△EMN.
∴∠3=∠4,AD=NE.
又∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠ADC=90°,
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°,
∴DC=NE,
∵∠3=∠4,∴AD∥EH.
∴∠H=∠ADC=90°,
∵∠G=90°,∠5=∠6,∴∠7=∠8,
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°,
∴∠DCF=∠FEN.
∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF.
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°.
∴FM⊥MD,MF=MD.
證法二:如右圖,過點(diǎn)E作AD的平行線分別交DM、DC的延長(zhǎng)線于N、H,連接DF、FN.
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4.∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMN.
∴DM=NM,AD=EN.
∵正方形ABCD、CGEF,
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°.
∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE.
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°.
∴∠DCF=∠5=∠NEF.
∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF.
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°.
∴FM⊥MD,MF=MD.
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A.一個(gè)角的余角大于這個(gè)角
B.鄰補(bǔ)角一定互補(bǔ)
C.相等的角是對(duì)頂角
D.有且只有一條直線與已知直線垂直
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【題目】已知礦泉水每瓶3元,且3個(gè)空礦泉水瓶可以換一瓶礦泉水,現(xiàn)有幾個(gè)學(xué)生帶15元錢去買礦泉水喝,他們最多可以喝礦泉水的瓶數(shù)為( )
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【題目】下列命題中,屬于假命題的是( )
A. 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和
B. 一般而言,一組數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定
C. 正比例函數(shù)是一次函數(shù)
D. 同位角相等
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