【題目】如圖, 平分 于點 , ,點 P 出發(fā),以 的速度沿線段 向終點 運動;同時,點 出發(fā),以 的速度沿射線 運動,當(dāng)點 P到達(dá)終點 時,則兩點均停止運動. 那么經(jīng)過 ,能使 .

【答案】
【解析】解:(1)當(dāng)P、Q移動到如圖1所示位置時,過點A作ACOM于點C,

圖1
設(shè)經(jīng)過x秒時,AP=AQ,此時BP=x,OP=6-x,OQ=3x,
∵O A 平分 ∠ M O N ,∴AC=AB,又∵AP=AQ,∴ACQABP,∴CQ=BP,
∵∠AOC=∠AOB,∠ACO=∠ABO,OA=OA,∴ACOABO,∴CO=BO,
∴CO-CQ=BO-BP,即OQ=OP,即:6-x=3x,解得:x=1.5.
(2)當(dāng)P、Q移動到如圖2所示位置時,過點A作ACOM于點C,

圖2
設(shè)經(jīng)過y秒時,AP=AQ,此時BP=y,OP=6-y,OQ=3y,
由(1)可得ACQABP,∴CQ=BP=y,
由(1)可得ACOABO,∴CO=BO,
即:OQ-CQ=BO,即3y-y=6,解得:y=3.
(3)當(dāng)點 P在(2)的基礎(chǔ)上繼續(xù)移動,到達(dá)終點 O 時,此過程無AP=AQ的情形.
所以答案是:1.5或3.
【考點精析】利用角平分線的性質(zhì)定理對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上.

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