【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點B.

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標;
(3)設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點P的坐標.

【答案】
(1)

解:依題意得: ,

解之得:

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵對稱軸為x=﹣1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),

∴把B(﹣3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,

解之得: ,

∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3


(2)

解:設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時MA+MC的值最。

把x=﹣1代入直線y=x+3得,y=2,

∴M(﹣1,2),

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(﹣1,2)


(3)

解:設P(﹣1,t),

又∵B(﹣3,0),C(0,3),

∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,

①若點B為直角頂點,則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10解之得:t=﹣2;

②若點C為直角頂點,則BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2解之得:t=4,

③若點P為直角頂點,則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18解之得:t1= ,t2= ;

綜上所述P的坐標為(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1, ) 或(﹣1, ).


【解析】(1)先把點A,C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關系式,再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系,再聯(lián)立得到方程組,解方程組,求出a,b,c的值即可得到拋物線解析式;把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n,解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式;(2)設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M,則此時MA+MC的值最。褁=﹣1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點M坐標;(3)設P(﹣1,t),又因為B(﹣3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2 , PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標.

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②把a乘以2,再加上30,把所得的和除以2;

③把①所得的結果減去②所得的結果,這個差即為最后的結果.

陳老師說:只要你告訴我最后的結果,我就能猜出你最初想的兩位數(shù)a

學生周曉曉計算的結果是96,陳老師立即猜出周曉曉最初想的兩位數(shù)是31

請完成

1)由①可列代數(shù)式   ,由②可列代數(shù)式   ,由③可知最后結果為   ;(用含a的式子表示)

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