Question

已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點(diǎn)P是腰DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與D、C不重合），點(diǎn)E、F、G分別是線段BC、PC、BP的中點(diǎn)．
（1）試探索四邊形EFPG的形狀，并說明理由；
（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，當(dāng)PC為何值時(shí)，四邊形EFPG是矩形并加以證明．

Answer 1

（1）四邊形EFPG是平行四邊形．（1分）
理由：∵點(diǎn)E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，
∴EF∥BP．（2分）
同理可證EG∥PC．（3分）
∴四邊形EFPG是平行四邊形．（4分）

（2）方法一：當(dāng)PC=3時(shí)，四邊形EFPG是矩形．（5分）
證明：延長BA、CD交于點(diǎn)M．
∵AD∥BC，AB=CD，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°．
∴∠M=60°，
∴△BCM是等邊三角形．（7分）
∵∠MAD=180°-120°=60°，
∴AD=DM=2．
∴CM=DM+CD=2+4=6．（8分）
∵PC=3，
∴MP=3，
∴MP=PC，
∴BP⊥CM即∠BPC=90度．
由（1）可知，四邊形EFPG是平行四邊形，
∴四邊形EFPG是矩形．（10分）

方法二：當(dāng)PC=3時(shí)，四邊形EFPG是矩形．（5分）
證明：延長BA、CD交于點(diǎn)M．由（1）可知，四邊形EFPG是平行四邊形．
當(dāng)四邊形EFPG是矩形時(shí)，∠BPC=90度．
∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60度．
∵AB=CD，∴∠C=∠ABC=60度．
∴∠PBC=30°且△BCM是等邊三角形．（7分）
∴∠ABP=∠PBC=30°，
∴PC=PM=

1

2

CM．（8分）
同方法一，可得CM=DM+CD=2+4=6，
∴PC=6×

1

2

=3．
即當(dāng)PC=3時(shí)，四邊形EFPG是矩形．（10分）